Question

如圖，在平面直角坐標系中有一正方形AOBC，反比例函數y=

k

x

經過正方形AOBC對角線的交點，半徑為（4-2

2

）的圓內切于△ABC，則k的值為

 

．

Answer 1

分析：根據正方形的性質得出AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，進而根據半徑為（4-2

2

）的圓內切于△ABC，得出CD的長，從而得出DO的長，再利用勾股定理得出DN的長進而得出k的值．

解答：解：設正方形對角線交點為D，過點D作DM⊥AO于點M，DN⊥BO于點N；
設圓心為Q，切點為H、E，連接QH、QE．
∵在正方形AOBC中，反比例函數y=

k

x

經過正方形AOBC對角線的交點，
∴AD=BD=DO=CD，NO=DN，HQ=QE，HC=CE，
QH⊥AC，QE⊥BC，∠ACB=90°，
∴四邊形HQEC是正方形，
∵半徑為（4-2

2

）的圓內切于△ABC，
∴DO=CD，
∵HQ²+HC²=QC²，
∴2HQ²=QC²=2×（4-2

2

）²，
∴QC²=48-32

2

=（4

2

-4）²，
∴QC=4

2

-4，
∴CD=4

2

-4+（4-2

2

）=2

2

，
∴DO=2

2

，
∵NO²+DN²=DO²=（2

2

）²=8，
∴2NO²=8，
∴NO²=4，
∴DN×NO=4，
即：xy=k=4．
故答案為：4．

點評：此題主要考查了正方形的性質以及三角形內切圓的性質以及待定系數法求反比例函數解析式，根據已知求出CD的長度，進而得出DN×NO=4是解決問題的關鍵．