Question

已知：如圖，直角坐標系內的梯形AOBC，AC∥OB，AC、OB的長分別是關于x的方程x²-6mx+m²+4=0的兩根，并且S_△AOC：S_△BOC=1：5．
（1）求AC、OB的長；
（2）當BC⊥OC時，求OC的長及OC所在直線的解析式；
（3）在第（2）問的條件下，線段OC上是否存在一點M，過M點作x軸的平行線，交y軸于F，交BC于D，過D點作y軸的平行線，交x軸于點E，使S_矩形FOED=

1

2

S_梯形AOBC？若存在，請直接寫出M點的坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據等高三角形的面積等于底邊比，可得出AC：OB=1：5．而AC、OB又是方程x²-6mx+m²+4=0的兩根，可根據韋達定理得出AC、OB的和與積的值，然后聯立AC、OB的比例關系式可求出AC、OB的長；
（2）本題要通過相似三角形求解．如果BC⊥OC，那么∠AOC和∠OBC就同為∠COB的余角，因此兩角相等，可得出△OBC∽△COA，根據相似三角形得出的OC²=AC•OB，可求出OC的長．進而可在直角三角形OAC中，求出OA的長，已知了AC的長，也就得出了C點的坐標．可用待定系數法求出OC所在直線的解析式；
（3）先求出矩形FDEO的面積S與OE的長a的函數關系式，易知直線BC的解析式為y=-

1

2

x+

5

2

，那么DE=-

1

2

a+

5

2

，因此S=OE•DE=-

1

2

a²+

5

2

a，易求得梯形AOBC的面積為6，因此S=-

1

2

a²+

5

2

a=3，解得a=2或3，當a=2時，DE=-

1

2

×2+

5

2

=

3

2

，即M點縱坐標為

3

2

，代入直線OC的解析式中可得M（

3

4

，-

3

2

），同理可求得當a=3時，M（

1

2

，1）．

解答：解：（1）∵S_△AOC：S_△BOC=1：5
∴AC：OB=1：5
不妨設AC=k，OB=5k
由題意得

k+5k=6m k•5k=m2+4

解得

m=1 k=1

或

m=-1 k=-1

（不合題意，舍去）
∴AC=1，OB=5；

（2）∵∠OAC=∠BCO=90°，∠ACO=∠BOC
∴△OBC∽△COA
∴

OB

OC

=

OC

AC

，OC²=OB•AC
∴OC=

5

或OC=-

5

（舍去）
∵AC=1，∴AO=2
∴C（1，2）
∴直線OC的解析式為y=2x；

（3）存在，M（

3

4

，

3

2

）或（

1

2

，1）．

點評：本題考查的是一次函數的綜合運用以及三角形，梯形的性質，難度中等．