Question

如圖，拋物線y=-x²-2x+3與x軸相交于點A和點B，與y軸交于點C．
（1）求點A，點B和點C的坐標；
（2）求直線AC的解析式；
（3）設點M是第二象限內拋物線上的一點，且S_△MAB=6，求點M的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）與x軸交點的縱坐標為0，所以根據一元二次方程-x²-2x+3=0的解來求拋物線y=-x²-2x+3與x軸的交點坐標；
（2）利用待定系數法求直線AC的解析式即可；
（3）點M的坐標為（m，n）．利用三角形的面積公式，二次函數圖象上點的坐標特征即可求得點M的坐標．
解答：解：（1）根據題意得：-x²-2x+3=0
解得x₁=1  x₂=-3
而當x=0時，y=3
所以點A的坐標為（-3，0），點B的坐標為（1，0），點C的坐標為（0，3）；

（2）設直線AC的解析式為y=kx+b，因為它過點A和點C．
所以，
解得．
所以直線AC的解析式為y=x+3；

（3）設點M的坐標為（m，n），根據題意可知：AB=3+1=4．
∵S_△MAB=AB×n，而S_△MAB=6，
∴n=3．
此時點M為（m，3），
∵點M在拋物線上，
∴-m²-2m+3=3，
解得m₁=-2，m₂=0（不合題意舍去）．
所以點M的坐標為（-2，3）．
點評：本題考查了拋物線與x軸的交點．解題時注意拋物線y=-x²-2x+3與一元二次方程-x²-2x+3=0間的轉換關系．