Question

如圖，正方形ABCD內有一點P，其中PA=，PC=2，PD=1，則∠CPD=    ．

Answer 1

【答案】分析：把△APD繞點D逆時針旋轉90°得到△CP′D，根據旋轉只改變圖形的位置不改變圖形的形狀與大小可得P′C=PA，P′D=PD，從而判斷出△PP′D是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質可得∠DPP′=45°，再利用勾股定理求出PP′的長度，利用勾股定理逆定理求出△PP′C是等腰直角三角形，從而得到∠P′PC=45°，然后根據∠CPD=∠DPP′+∠P′PC，代入數據進行計算即可得解．
解答：解：如圖，把△APD繞點D逆時針旋轉90°得到△CP′D，
根據旋轉的性質，P′C=PA=，P′D=PD=1，
所以，△PP′D是等腰直角三角形，
∴∠DPP′=45°，
在Rt△PP′D中，PP′===，
在△PP′C中，PP′²+P′C²=²+²=2+2=4，
PC²=2²=4，
所以，PP′²+P′C²=PC²，
所以，△PP′C是直角三角形，
又∵PP′=P′C=，
∴△PP′C是等腰直角三角形，
∴∠P′PC=45°，
∴∠CPD=∠DPP′+∠P′PC=45°+45°=90°．
故答案為：90°．
點評：本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的判定，勾股定理、勾股定理逆定理的應用，作輔助線構造出直角三角形是解題的關鍵．