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如圖,平面直角坐標系中,直線AB與x軸、y軸分別交于A(3,0),B(0,)兩點.
(1)求直線AB的解析式;
(2)在第一象限內是否存在點P,使得以P、O、B為頂點的三角形與△OBA相似?若存在,請畫出所有符合條件的點P,并求其中一個點P的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】分析:(1)求出直線斜率k和截距b,直線解析式就可以寫出了.
(2)△OBA中,已經有一直角,再找一銳角相等就可以了.
解答:解:(1)設函數解析式為y=kx+b,
根據題意
解得


(2)過O作OP⊥AB垂足為P,得△OBA∽△PBO,
過B作BP″⊥y軸,使BP″=OA,連接OP″,得△OBA∽△BOP″,
過B作BP′⊥OP″,垂足為P′,得△OBA∽△P′OB,
由題可得OA=3,OB=,AB=2,∠OAB=30°.
①若△BOP∽△OBA,則∠BPO=∠BAO=30°,BP=OB=3,
∴P1(3,);
②若△BPO∽△OAB,則∠BOP=∠BAO=30°,OP=OB=1,
∴P2(1,);
③當∠OPB=90°時,
過點P作OP⊥BC(如圖),此時△PBO∽△OAB,∠BOP=∠BAO=30°,過點P作PM⊥OA,
在Rt△PBO中,BP=OB=,OP=BP=
∵在Rt△PMO中,∠OPM=60°,
∴OM=OP=,PM=OM=
∴P3);

④若△POB∽△OAB,則∠OBP=∠BAO=30°,∠P4OM=90°-(90°-30°)=30°,
∴P4M=OM=
∴P4).
當∠OPB=90°時,點P在x軸上,不符合要求.
故符合條件的點有四個:P1(3,),P2(1,),P3),P4).
點評:待定系數法求一次函數解析式和直角三角形相似的判定方法是本題考查的兩個知識點.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖,平面直角坐標系中,O為直角三角形ABC的直角頂點,∠B=30°,銳角頂點A在雙曲線y=
1x
上運動,則B點在函數解析式
 
上運動.

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如圖,平面直角坐標系中,⊙P與x軸分別交于A、B兩點,點P的坐標為(3,-1),AB精英家教網=2
3

(1)求⊙P的半徑.
(2)將⊙P向下平移,求⊙P與x軸相切時平移的距離.

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如圖,平面直角坐標系中,OB在x軸上,∠ABO=90°,點A的坐標為(1,2).將△AOB繞點A逆時針旋轉90°,則點O的對應點C的坐標為(  )

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如圖:平面直角坐標系中,△ABC的三個頂點的坐標為A(a,0),B(b,0),C(0,c),且a,b,c滿足
a+2
+|b-2|+(c-b)2=0
.點D為線段OA上一動點,連接CD.
(1)判斷△ABC的形狀并說明理由;
(2)如圖,過點D作CD的垂線,過點B作BC的垂線,兩垂線交于點G,作GH⊥AB于H,求證:
S△CAD
S△DGH
=
AD
GH

(3)如圖,若點D到CA、CO的距離相等,E為AO的中點,且EF∥CD交y軸于點F,交CA于M.求
FC+2AE
3AM
的值.

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科目:初中數學 來源: 題型:

如圖在平面直角坐標系中,A點坐標為(8,0),B點坐標為(0,6)C是線段AB的中點.請問在y軸上是否存在一點P,使得以P、B、C為頂點的三角形與△AOB相似?若存在,求出P點坐標;若不存在,說明理由.

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