Question

如圖，△OAB中，點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（2，2），點P從點A出發，沿A→B→O的方向以每秒個單位勻速運動，同時點Q從點D（0，2）出發，沿y軸正方向以每秒2個單位勻速運動，當點P到達點O時，兩點同時停止運動，設運動的時間為t秒．
（1）求∠BAO的度數．
（2）設△OPQ的面積為S（平方單位），求當點P在AB上運動時，S（平方單位）與時間t（秒）之間的函數關系式及自變量的取值范圍．
（3）當點P沿A→B→O的方向運動時，試問：是否存在點P使∠OPQ=90°？如果存在，請求出相應的時間t；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）過B作BE⊥OA于E
∵B（2，2），則BE=OE=2
由勾股定理得：OB=2
∵A（4，0），∴AE=2
由勾股定理得，AB=2
∴OB=AB
∴△ABO為等腰三角形
∴OB²=8，AB²=8，OA²=16
∴OB²+AB²=OA²
∴△ABO是等腰直角三角形
∴∠BAO=45°；

（2）過點P作PC⊥OA于點C，
∴PC=AC
在Rt△PCA中，AP=t由勾股定理得
AC²+PC²=AP²
∴AC=t
∴OC=4-t
∵OQ=2+2t
∴S=（4-t）（2+2t）
即S=-t²+3t+4 （0≤t≤4）；

（3）分類討論：
①當點P在AB上運動t秒時，則∠OPQ=90°作PF⊥OA于F．
∴∠OFP=90°
∴∠AOP+∠OPF=90°
∵∠AOP+∠QOP=90°
∴∠OPF=∠QOP
∴△PFO∽△OPQ
∴
∵PA=，∴PF=AF=t，OQ=2+2t
∴OF=4-t，由勾股定理得
OP=
∴t²+（4-t）²=t²+（2+2t）²
解得t=1.6．
②當點P運動t秒在OB上時，則∠OPQ=90°則△OQP是等腰直角三角形．（t＞2）
∴OP=PQ
∵OP＜2
∴OP+PQ＜4
∵OQ=2+2t （t＞2）
∴2+2t＞4
∴兩邊之和小于第三邊，此三角形不存在．
綜上所述t=1.6．
分析：（1）要求∠BAO的度數，由點B、點A的坐標很容易證明出△OAP是等腰直角三角形，故求出∠BAO的度數．
（2）要表示出△OPQ的面積為S于時間t的關系式的關鍵是表示出OQ邊上的高，利用等腰直角三角形的性質和勾股定理可以表示出來，最后利用三角形的面積公式列出等式就可以了．
（3）是一道分類討論試題，當P點在AB上時存在滿足條件的P點．當點P在OB上時，滿足條件的點不存在，利用三角形的三邊關系可以證明．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，勾股定理逆定理的運用以及等腰三角形的性質．還涉及到了三角形三邊關系的運用，是一道綜合性較強難度較大的試題．