Question

如圖，二次函數y=-x²+bx+c與x軸交于點B和點A（-1，0），與y軸交于點C，與一次函數y=x+a交于點A和點D．
（1）求出a、b、c的值；
（2）若直線AD上方的拋物線存在點E，可使得△EAD面積最大，求點E的坐標；
（3）點F為線段AD上的一個動點，點F到（2）中的點E的距離與到y軸的距離之和記為d，求d的最小值及此時點F的坐標．

Answer 1

分析：（1）根據圖形可以看出點C的坐標為（0，4），點B的坐標為（4，0），分別代入一次函數和二次函數的解析式中，即可得出a、b、c的值；
（2）設點E的橫坐標為m，則可得出點E的縱坐標為-m²+3m+4．過點E作x軸的垂線l，交x軸于點G，交AD于點H，則點H的坐標為（m，m+1）．過點D作l的垂線，垂足為T；聯立直線方程和二次函數方程，即可得出D的坐標，再根據S_△AED=S_△AEH+S_△HED，得出含m的函數，利用a的取值范圍，可知，當m=1時，即可得出最大值，從而可得出E的坐標；
（3）過A作y軸的平行線AS，過F作FG⊥y軸交AS于點M，過F作FN⊥x軸于N，結合已知，可得出FM=FN，即有d=FE+FM-1=FE+FN-1，可知當N、F、E所在直線與x軸垂直時，d=FE+FN-1最小，即可得出F的坐標．

解答：解：（1）a=1；b=3；c=4．（解題過程略）

（2）設點E的橫坐標為m，則點E的縱坐標為-m²+3m+4．過點E作x軸的垂線l，交x軸于點G，交AD于點H，則點H的坐標為（m，m+1）．過點D作l的垂線，垂足為T．
將y=x+1與y=-x²+3x+4聯立組成方程組，解得點D的坐標為（3，4）．
所以S_△AED=S_△AEH+S_△HED=

1

2

EH×AG+

1

2

EH×DT=

1

2

EH（AG+DT）=

1

2

（-m²+3m+4-m-1）×5=-

5

2

（m-1）²+10
∵a=

5

2

＜0，∴S_△AED有最大值．當m=1時，最大值為10，此時點E的坐標為（1，10）．

（3）過A作y軸的平行線AS，過F作FG⊥y軸交AS于點M，過F作FN⊥x軸于N，
∵點D的坐標為（3，4），點A坐標為（-1，0）
∴∠DAB=45°∴AD平分∠SAB，∴FM=FN
∴d=FE+FM-1=FE+FN-1
顯然，當N、F、E所在直線與x軸垂直時，d=FE+FN-1最小，最小值為6-1=5．
此時點F的橫坐標為1，代入y=x+1得F點的坐標為（1，2）．

點評：本題主要考查了用待定系數法求函數的解析式時要靈活地根據已知條件選擇配方法和公式法．具有一定難度的二次函數題．