Question

如圖所示，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點且∠AEF=90°，EF交正方形外角平分線CF于點F，取邊AB的中點G，連接EG．
（1）求證：EG=CF；
（2）將△ECF繞點E逆時針旋轉90°，請在圖中直接畫出旋轉后的圖形，并指出旋轉后CF與EG的位置關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）G、E分別為AB、BC的中點，由正方形的性質可知AG=EC，△BEG為等腰直角三角形，則∠AGE=180°-45°=135°，而∠ECF=90°+45°=135°，得∠AGE=∠ECF，再利用互余關系，得∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，可證△AGE≌△ECF，得出結論；
（2）旋轉后，∠C′AE=∠CFE=∠GEA，根據內錯角相等，兩直線平行，可判斷旋轉后CF與EG平行．
解答：（1）證明：∵正方形ABCD，點G，E為邊AB、BC中點，
∴AG=EC，△BEG為等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，
又∵CF為正方形外角平分線，
∴∠ECF=90°+45°=135°，
∴∠AGE=∠ECF，
∵∠AEF=90°，
∴∠GAE=90°-∠AEB=∠CEF，
∴△AGE≌△ECF，
∴EG=CF；

（2）解：畫圖如圖所示，
旋轉后CF與EG平行．
點評：本題考查了旋轉的性質，正方形的性質，全等三角形的判定與性質．關鍵是根據正方形的性質尋找判定三角形全等的條件．