Question

如圖，在?ABCD中，∠ABD的平分線BE交AD于點E，∠CDB的平分線DF交BC于點F，連接BD．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=DB，求證：四邊形DFBE是矩形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行四邊形性質得出AB=CD，∠A=∠C．求出∠ABD=∠CDB．推出∠ABE=∠CDF，根據ASA推出全等即可；
（2）根據全等得出AE=CF，根據平行四邊形性質得出AD∥BC，AD=BC，推出DE∥BF，DE=BF，得出四邊形DFBE是平行四邊形，根據等腰三角形性質得出∠DEB=90°，根據矩形的判定推出即可．
解答：證明：（1）在□ABCD中，AB=CD，∠A=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠ABD=∠CDB．
∵BE平分∠ABD，DF平分∠CDB，
∴∠ABE=∠ABD，∠CDF=∠CDB．
∴∠ABE=∠CDF．
∵在△ABE和△CDF中，

∴△ABE≌△CDF（ASA）．

（2）∵△ABE≌△CDF，
∴AE=CF，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴DE∥BF，DE=BF，
∴四邊形DFBE是平行四邊形，
∵AB=DB，BE平分∠ABD，
∴BE⊥AD，即∠DEB=90°．
∴平行四邊形DFBE是矩形．
點評：本題考查了平行線的性質，平行四邊形的性質和判定，矩形的判定，全等三角形的性質和判定，角平分線定義等知識點的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理的能力．