Question

（2003•徐州）在平面直角坐標系中，已知點P的坐標為（1，0）．將點P繞著原點O按逆時針方向旋轉30°得到點P₁，延長OP₁到點P=2，使OP₂=2OP₁；再將點P₂繞著原點O按逆時針方向旋轉30°得到點P₃，延長OP₃到點P₄，使OP₄=2OP₃；…如此繼續下去．求：（1）點P₂的坐標；（2）點P₂₀₀₃的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）做P₂⊥x軸于一點，利用30°的三角函數可求得P₂的橫縱坐標．
（2）應先找到各個點所在的象限或者坐標軸的位置．相鄰的以奇數開頭的兩個點在同一直線上，可得到24個點將轉一圈：即回到x軸．那么應讓2003÷24=83…11可得所求的點在x軸的負半軸上．OP₂₀₀₃的長度應和OP₂₀₀₂的長度相等．∵OP₂=2¹=2；OP₄=2²=4，∴OP₂₀₀₂=2¹⁰⁰¹，進而可得點P₂₀₀₃的坐標．
解答：解：（1）設P₂的坐標為（x，y），作P₂M⊥x軸，垂足為M．
∵OP₂=2OP₁=2OP_O=2×1=2．∠P₂OM=30°，
∴y=MP₂=2sin30°=1，x=OM=2cos30°=，
∴P₂的坐標為（，1）；

（2）按照這樣的變化規律，點P₂₃、P₂₄又回到了x軸的正半軸上，
∵2003=24×83+11，
∴點P₂₀₀₃落在x軸的負半軸上，
∵OP₃=OP₂=2，OP₅=OP₄=2²，OP₇=OP₆=2³，…
∴OP₂₀₀₃=OP₂₀₀₂=2¹⁰⁰¹，
∴點P₂₀₀₃的坐標為（-2¹⁰⁰¹，0）．
點評：解決本題的關鍵是通過作圖，分析，觀察，得到相應的規律．