Question

（1999•煙臺）如圖，△ABC是等邊三角形，⊙O與BC相切于點C，交CA的延長線于點D，交△ABC的外接圓于點K，直線AK交⊙O于點E，交CB的延長線于點F．
（1）求∠EDC的度數；
（2）如果A是EF的中點，請判斷K是否是的中點，并證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）此題要通過構造相等的圓周角來求解；連接KC，在小圓中，由圓周角定理知∠AKC=∠ABC=60°，在⊙O中，∠AKC=∠EDC=60°，由此得解．
（2）若K是弧AB的中點，需要證得∠ACK=∠BCK=30°，連接CE；由于FC切⊙O于C，則∠FCD=∠CED=60°，那么△CDE也是等邊三角形，那么∠DCE=∠BAC=60°，根據內錯角相等兩直線平行，可證得AB∥CE，而A是EF的中點，則B是FC的中點，即FB=BC=AB，由此可得∠F=∠BAF=∠ABC=30°，那么∠BCD=∠BAF=30°，即可得解．
解答：解：（1）連接KC；（1分）
∵∠AKC=∠ABC，∠AKC=∠EDC，
∴∠ABC=∠EDC；（3分）
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=60°，
∴∠EDC=60°．（4分）

（2）連接CE，（1分）
∵FC切⊙O于C，
∴∠ACF=∠DEC；
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ACF=∠BAC=60°，AB=BC，
∴∠DEC=60°，
∴∠DCE=60°，
∴∠DCE=∠BAC，
∴AB∥CE；（4分）
∵FA=AE，
∴FB=BC．（5分）
∴AB=FB，
∴∠F=∠FAB=∠ABC=30°；（7分）
∵∠ACB=60°，
∴∠ACK=∠BCK=30°，
∴K是的中點．（9分）
點評：考查了等邊三角形的性質，切線的性質等知識點的運用．此題是一個大綜合題，難度較大．