Question

如圖甲，正方形ABCD的邊長為2，點M是BC的中點，P是線段MC上的一個動點（不運動至M，C），以AB為直徑作⊙O，過點P的切線交AD于點F，切點為E．
（1）求四邊形CDFP的周長；
（2）請連接OF，OP，求證：OF⊥OP；
（3）延長DC，FP相交于點G，連接OE并延長交直線DC于H（如圖乙）．是否存在點P使△EFO∽△EHG（其對應關系是E←→E，F←→H，O←→G）？如果存在，試求此時的BP的長；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由ABCD為正方形，得到∠A與∠B都為直角，根據切線的判斷方法，得到AD與BC都為圓的切線，又PF為圓O的切線，根據切線長定理即可得到FE=FA，PE=PB，根據等量代換的方法得到四邊形CDFP的周長等于AD+BC+CD，根據正方形的邊長為2，求出周長即可；
（2）連接OF，OP，OE，由AF，BP是⊙O的切線，PF是⊙O的切線，根據切線長定理即可得∠EOF=∠AOF，∠EOP=∠BOP，又由∠AOF+∠EOF+∠EOP+∠BOP=180°，即可證得OF⊥OP；
（3）存在．理由是：當Rt△EFO∽Rt△EHG時，必須使∠EHG=∠EFO，而根據平行得到∠EHG=∠EOA=2∠EOF，即∠EFO=2∠EOF，又因為∠FEO為90°，所以∠EOF=∠AOF=30°，根據30°的正切值求出AF的長即為y的值，然后代入（2）中的函數關系式即可求出x的值．
解答：（1）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠A=∠B=90°，
∴AF，BP是⊙O的切線，
又∵PF是⊙O的切線，
∴FE=FA，PE=PB，
∴四邊形CDFP的周長為：CD+DF+EF+CP=AD+DC+CB=6；

（2）證明：連接OF，OP，OE，
∵AF，BP是⊙O的切線，PF是⊙O的切線
∴∠EOF=∠AOF，∠EOP=∠BOP，
∵∠AOF+∠EOF+∠EOP+∠BOP=180°，
∴2∠FOE+2∠EOP=180°，
∴∠EOF+∠EOP=90°，
∴OF⊥OP；

（3）解：存在．理由如下：
∵∠EOF=∠AOF，
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF，
當∠EFO=∠EHG=2∠EOF時，即∠EOF=30°時，Rt△EFO∽Rt△EHG，
設AF=y，BP=x，
此時在Rt△AFO中，
y=AF=OA•tan30°=，
即x==，
解得：，
∴當 時，△EFO∽△EHG．
點評：此題綜合考查了切線長定理，切線的性質，相似三角形的判定與性質以及正方形的性質等知識．此題綜合性較強，難度較大，解題的關鍵是注意數形結合思想的應用，注意輔助線的作法．