Question

如圖，⊙O的弦AD∥BC，過點D的切線交BC的延長線于點E，AC∥DE交BD于點H，DO及延長線分別交AC、BC于點G、F．
（1）求證：DF垂直平分AC；
（2）求證：FC=CE；
（3）若弦AD=5cm，AC=8cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

（1）證明：∵DE是⊙O的切線，且DF過圓心O，
∴DF是⊙O的直徑所在的直線，
∴DF⊥DE，
又∵AC∥DE，
∴DF⊥AC，
∴G為AC的中點，即DF平分AC，則DF垂直平分AC；

（2）證明：由（1）知：AG=GC，
又∵AD∥BC，
∴∠DAG=∠FCG；
又∵∠AGD=∠CGF，
∴△AGD≌△CGF（ASA），
∴AD=FC；
∵AD∥BC且AC∥DE，
∴四邊形ACED是平行四邊形，
∴AD=CE，
∴FC=CE；

（3）解：連接AO，
∵AG=GC，AC=8cm，
∴AG=4cm；
在Rt△AGD中，由勾股定理得GD²=AD²-AG²=5²-4²=9，
∴GD=3；
設圓的半徑為r，則AO=r，OG=r-3，
在Rt△AOG中，由勾股定理得AO²=OG²+AG²，
有：r²=（r-3）²+4²，
解得r=，
∴⊙O的半徑為cm．
分析：（1）由DE是⊙O的切線，且DF過圓心O，可得DF⊥DE，又由AC∥DE，則DF⊥AC，進而可知DF垂直平分AC；
（2）可先證△AGD≌△CGF，四邊形ACED是平行四邊形，即可證明FC=CE；
（3）連接AO可先求得AG=4cm，在Rt△AGD中，由勾股定理得GD=3cm；設圓的半徑為r，則AO=r，OG=r-3，在Rt△AOG中，由勾股定理可求得r=．
點評：本題考查了圓的切線性質，及解直角三角形的知識．運用切線的性質來進行計算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點，利用垂直構造直角三角形解決有關問題．