Question

（2013•蘭州）已知，如圖，直線MN交⊙O于A，B兩點，AC是直徑，AD平分∠CAM交⊙O于D，過D作DE⊥MN于E．
（1）求證：DE是⊙O的切線；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OD，根據平行線的判斷方法與性質可得∠ODE=∠DEM=90°，且D在⊙O上，故DE是⊙O的切線．
（2）由直角三角形的特殊性質，可得AD的長，又有△ACD∽△ADE．根據相似三角形的性質列出比例式，代入數據即可求得圓的半徑．
解答：（1）證明：連接OD．
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA．（1分）
∵∠OAD=∠DAE，
∴∠ODA=∠DAE．（2分）
∴DO∥MN．（3分）
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°．
即OD⊥DE．（4分）
∵D在⊙O上，
∴DE是⊙O的切線．（5分）

（2）解：∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴．（6分）
連接CD．
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠ADC=∠AED=90°．（7分）
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE．（8分）
∴．
∴．
則AC=15（cm）．（9分）
∴⊙O的半徑是7.5cm．（10分）
點評：本題考查常見的幾何題型，包括切線的判定，線段等量關系的證明及線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．