Question

已知拋物線y=ax² +bx+c與y軸交于點A(0，3)，與x軸交于B(1，0)、C(5，0)兩點．  
(1)求此拋物線的解析式；  
(2)若點D為線段OA的一個三等分點，求直線DC的解析式；  
(3)若一個動點P自OA的中點M出發，先到達x軸上的某點(設為點E)，再到達拋物    線的對稱軸上的某點(設為點F)，最后運動到點A.求使點P運動的總路徑最短的點E、點F的坐標，并求出這個最短總路徑的長．

Answer 1

解：(l)拋物線解析式為．
(2)依題意可得OA的三等分點分別為(0，1)，(0，2)．  
設直線CD的解析式為y=kx+b,  當點D的坐標為(0，1)時，
直線CD的解析式為  當點D的坐標為(0，2)時，
直線CD的解析式為
(3)由題意可得M(0，)，點M關于x軸的對稱點為M' (0，-)，點A關于拋物線對稱軸x=3的對稱點為A'(6，3)．連接A'M'．根據軸對稱性及兩點間線段最短可知，
A'M'的長就是所求點P運動的最短路徑的長，
所以A'M'與x軸的交點為所求E點，與直線x=3的交點為所求F點，
可求得直線A'M'的解析式為y=．
可得E點坐標為(2，0)，F點的坐標為(3，)，
由勾股定理求A'M'=，
所以點P運動的最短總路徑(ME-+EF+FA)的長為．