Question

如圖，正方形ABCD（四個角都是直角，四條邊都相等）的邊長為4，點E、F分別在邊BC、CD上，且CF=1．
（1）若E為BC的中點，請你證明△AEF是直角三角形；
（2）若∠AFE=90°，求CE的值．

Answer 1

分析：（1）據條件畫出圖形，利用勾股定理及勾股定理的逆定理解答即可；
（2）利用相似三角形的判定與性質即可解決問題．

解答：解：（1）如圖1，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，
∵E為BC的中點，
∴BE=CE=2，
由勾股定理得，
AE²=AB²+BE²=4²+2²=20，
EF²=CE²+CF²=2²+1²=5，
AF²=AD²+DF²=4²+3²=25，
又∵AE²+EF²=AF²，
∴△AEF是直角三角形；

（2）如圖2，
由①知，AD=4，CF=1，DF=3，∠C=∠D=90°，
∵∠AFE=90°，
∴∠AFD+∠DAF=90°，∠AFD+∠EFC=90°，
∴∠DAF=∠EFC，
∴△ADF∽△FCE，
∴

AD

CF

=

DF

CE

，
即

4

1

=

3

CE

，
解得CE=

3

4

．

點評：此題主要考查正方形的性質、勾股定理、勾股定理的逆定理以及相似三角形的判定與性質．