Question

二次函數y=mx²+（m-2）x-2（m＞0）的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C．
（1）求點A坐標；
（2）當∠ABC=45°時，①求m的值；②將此拋物線向下平移個單位后，得到拋物線C′，且與x軸的左半軸交于M點，與y軸交于N點，請在拋物線C′上求點P，使得△MNP是以N，M為頂點直角的直角三角形．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知y=mx ²+（m-2）x-2可化為兩根式y=（mx-2）（x+1），進而得出A點坐標即可；
（2）①當∠ABC=45°時，則△OBC為等腰直角三角形，OB=OC==2，求出m即可；
②使得△MNP是以N，M為頂點直角的直角三角形的兩種情況：一是當PM垂直MN時，二是當PN垂直MN時，分別求出即可．
解答：解：（1）二次函數y=mx ²+（m-2）x-2可化為兩根式y=（mx-2）（x+1），
則與x軸交點的橫坐標x₁=，x₂=-1，
∵點A在點B的左側，m＞0，
∴A點坐標為（-1，0）；

（2）①點C坐標可求得為（0，-2），
當∠ABC=45°時，則△OBC為等腰直角三角形，
OB=OC==2，
即m=1，
②二次函數的解析式為y=x²-x-2；
將二次函數y=x²-x-2向下平移個單位后，得到拋物線C'，
則拋物線C'的解析式為y=x²-x-，
求得M的坐標為（-，0）、N的坐標為（0，-），
直線MN的解析式為y=-x-，
在拋物線C'上求點P，使得△MNP是以N，M為頂點的直角三角形的兩種情況：
①是當PM垂直MN時，
∵直線MN的解析式為y=-x-，
∴設直線PM的解析式為：y=x+b，
∵M的坐標為（-，0），
∴×（-）+b=0，解得b=，
∴PM的解析式為：y=x+，
聯立y=x²-x-，
解得x=，y=，
所以P的坐標為（，）；
二是當PN垂直MN時，
PN的解析式可求得為y=x-，
聯立y=x²-x-，
解得x=，y=-，
所以P的坐標為（，-）．
點評：此題主要考查了二次函數的綜合應用以及等腰直角三角形的性質和函數交點坐標求法，根據已知的畫出函數圖象進而求出是解題關鍵．