Question

觀察下列各圖：

（1）第1個(gè)圖中有1個(gè)三角形，第2個(gè)圖中有3個(gè)三角形，第3個(gè)圖中有6個(gè)三角形，第4個(gè)圖中有

 

個(gè)三角形，…，根據(jù)這個(gè)規(guī)律可知第n個(gè)圖中有

 

個(gè)三角形（用含正整數(shù)n的式子表示）；
（2）問在上述圖形中是否存在這樣的一個(gè)圖形，該圖形中共有25個(gè)三角形？若存在，請(qǐng)畫出圖形；若不存在請(qǐng)通過具體計(jì)算說明理由；
（3）在下圖中，點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，D為AC延長線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，記△PDA的面積為S₁，△PDB的面積為S₂，△PDC的面積為S₃．試探索S₁、S₂、S₃之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）第一個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)為1；
第二個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)為3=1+2；
第三個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)為6=1+2+3；
…
第n個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)為1+2+3+…+n=

n(n+1)

2

；
當(dāng)n=10時(shí)，可計(jì)算出第10個(gè)圖中三角形的個(gè)數(shù)．
（2）令

n(n+1)

2

=25，看n是否有正整數(shù)解即可．
（3）由于B是AC中點(diǎn)，則△PAB和△PBC等底同高，故S_△PBA=S_△PBC，由此可得出S₁+S₃=2S₂．

解答：解：（1）10；

n(n+1)

2

；

（2）不存在（法一）當(dāng)n=6時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)為

6×(6+1)

2

=21；
當(dāng)n=7時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)為

7×(7+1)

2

=28；
所以不存在n使三角形的個(gè)數(shù)為25．
（法二）由

n(n+1)

2

=25，得n（n+1）=50，而不存在兩個(gè)連續(xù)整數(shù)的乘積為50，
所以不存在n使三角形的個(gè)數(shù)為25．

（3）S₁+S₃=2S₂．
∵點(diǎn)B是線段AC的中點(diǎn)，
∴AB=BC，
∴S_△PAB=S_△PBC，
∴S₁+S₃=2S₂．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是規(guī)律性問題以及三角形面積的求法；解答規(guī)律型問題時(shí)，通常是根據(jù)簡單的例子找出一般化規(guī)律，然后根據(jù)規(guī)律去求特定的值．