Question

（2005•黃石）一次函數y=x+b與反比例函數y=圖象的交點為A（m，n），且m，n（m＜n）是關于x的一元二次方程kx²+（2k-7）x+k+3=0的兩個不相等的實數根，其中k為非負整數，m，n為常數．
（1）求k的值；
（2）求A的坐標與一次函數解析式．

Answer 1

【答案】分析：（1）因為關于x的一元二次方程kx²+（2k-7）x+k+3=0有兩個不相等的實數根，其中k為非負整數，利用△=（2k-7）²-4k（k+3）=-40k+49＞0即可求得k＜，又因k為非負整數，則有k=0，1，又因當k=0時，方程kx²+（2k-7）x+k+3=0不是一元二次方程，與題設矛盾，所以k=1．
（2）因為m，n（m＜n）是關于x的一元二次方程kx²+（2k-7）x+k+3=0的兩個不相等的實數根，而k=1，解一元二次方程就可求得m=1，n=4，確定點A的坐標，然后把點A的坐標代入一次函數解析式，利用方程求出b=3，最終解決問題．
解答：解：（1）由關于x的一元二次方程kx²+（2k-7）x+k+3=0有兩個不相等的實數根得：
△=（2k-7）²-4k（k+3）
=-40k+49＞0（01分）
∴k＜（2分）
又∵k為非負整數，∴k=0，1（3分）
∵當k=0時，方程kx²+（2k-7）x+k+3=0不是一元二次方程，與題設矛盾
∴k=1．（4分）

（2）當k=1時，有方程x²-5x+4=0
∴x₁=1x₂=4
∵m，n（m＜n）是方程x²-5x+4=0的兩個不相等的實數根
∴m=1，n=4即A點的坐標為（1，4）（6分）
把A（1，4）坐標代入y=x+b得b=3
∴所求函數解析式為y=x+3（8分）．
點評：解決本類題目需靈活運用一元二次方程的根的判別式求出字母的取值，確定點的坐標，然后將點的坐標代入函數解析式，即可解決問題．