Question

已知α、β是關(guān)于x的方程x²+px+q=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且α³-α²β-αβ²+β³=0，求證：p=0，q＜0．

Answer 1

【答案】分析：根據(jù)根與系數(shù)是關(guān)系求得α+β=-p，根據(jù)根的判別式求得△=p²-4q＞0；然后利用完全平方公式將α³-α²β-αβ²+β³=0變形得α³-α²β-αβ²+β³=（α-β）²（α+β）=0，所以α+β=-p=0，所以-4p＞0，即p＜0．
解答：證明：∵α、β是關(guān)于x的方程x²+px+q=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴α+β=-p，αβ=q；
∵α³-α²β-αβ²+β³=0，
∴α³-α²β-αβ²+β³=（α-β）²（α+β）=0；
∵α、β是關(guān)于x的方程x²+px+q=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴α≠β，
∴α-β≠0，
∴α+β=-p=0，△=p²-4q＞0；
∴p=0，-4q＞0，
∴q＜0．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．