Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為A（﹣2，0），且經過點B（﹣5，9），與y軸交于點C，連接AB，AC，BC．

（1）求該拋物線對應的函數表達式；

（2）點P為該拋物線上點A與點B之間的一動點．

①若S△PAB＝S△ABC，求點P的坐標．

②如圖②，過點B作x軸的垂線，垂足為D，連接AP并延長，交BD于點M．連接BP并延長，交AD于點N．試說明DN（DM+DB）為定值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+4x+4；（2）①P（﹣3，1）或（﹣4，4）；②見解析，DN（DM+DB）為定值27．

【解析】

（1）利用頂點式設出拋物線解析式，再將點B坐標代入求解，即可得出結論；

（2）先求出直線BC解析式，進而求出三角形ABC的面積，得出三角形ABP的面積為3，設出點P坐標，表示出點G坐標，利用三角形ABP的面積為3建立方程求解即可得出結論；

②先設出直線BN的解析式y＝k（x＋5）＋9①，得出DN，再設出直線AM的解析式為y＝k'（x＋2）②，進而得出DM，再聯立①②求出點P坐標，再將點P坐標代入拋物線解析式中，得出k＝k'3，即可得出結論．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點為A（﹣2，0），

∴設拋物線的解析式為y＝a（x+2）2，

將點B（﹣5，9）代入y＝a（x+2）2中，得，9＝a（﹣5+2）2，

∴a＝1，

∴拋物線的解析式為y＝（x+2）2＝x2+4x+4；

（2）①如圖①，由（1）知，拋物線的解析式為y＝x2+4x+4，

∴C（0，4），

∵B（﹣5，9），

∴直線BC的解析式為y＝﹣x+4，

過點A作AH∥y軸，交直線BC于H，

過P作PG∥y軸，交直線BA于HG，

∵A（﹣2，0），

∴H（﹣2，6），

∴S△ABC＝AH×（xC﹣xB）＝×6×5＝15，

∵S△PAB＝S△ABC，

∴S△PAB＝×15＝3，

∵A（﹣2，0），B（﹣5，9），

∴直線AB的解析式為y＝﹣3x﹣6

設點P（p，p2+4p+4），

∴G（p，﹣3p﹣6），

∴S△PAB＝ [﹣3p﹣6﹣（p2+4p+4）]×（﹣2+5）＝3，

∴p＝﹣3或p＝﹣4，

∴P（﹣3，1）或（﹣4，4）；

②如圖②，

∵BD⊥x軸，且B（﹣5，9），

∴D（﹣5，0），

設直線BN的解析式為y＝k（x+5）+9①，

令y＝0，則k（x+5）+9＝0，

∴x＝﹣＝﹣5﹣，

∴N（﹣5﹣，0），

∴DN＝﹣5﹣+5＝﹣，

∵點A（﹣2，0），

∴設直線AM的解析式為y＝k'（x+2）②，

當x＝5時，y＝﹣3k'，

∴M（﹣5，﹣3k'），

∴DM＝﹣3k'，

聯立①②得，

解得，，

∴P（﹣2﹣2×，﹣3k'×），

∵點P在拋物線y＝（x+2）2上，

∴（﹣2﹣3×+2）2＝﹣3k'×，

∴，

∴k＝k'﹣3，

∴DN（DM+DB）＝﹣（﹣3k'+9）＝27×（k'﹣3）＝27××k＝27；

即：DN（DM+DB）為定值27．