Question

在平面直角坐標系中，己知O為坐標原點，點A（3，0），B（0.4），以點A為旋轉中心，把△ABO順時針旋轉，得△ACD．記旋轉角為α．∠ABO為β．

（I ）如圖①，當旋轉后點D恰好落在AB邊上時，求點D的坐標；
（II）如圖②，當旋轉后滿足BC∥x軸時，求α與β之間的數量關系：
（III）當旋轉后滿足∠AOD=β時，求直線CD的解析式（直接寫出結果即可）．

Answer 1

分析：（1）過點D作DM⊥x軸于點M，求證△ADM∽△ABO，根據相似比求AM的長度，推出OM和MD的長度即可；
（2）根據等腰三角形的性質，推出α=180°-2∠ABC，結合已知條件推出∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，即α=2β；
（3）做過點D作DM⊥x軸于點M，根據勾股定理和△OAB∽△OMD，推出D點的橫坐標和縱坐標，然后求出C點坐標，就很容易得到CD的解析式了．

解答：解：（1）∵點A（3，0），B（0，4），得OA=3，OB=4，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理，得AB=

OA2+OB2

=5，
根據題意，有DA=OA=3．
如圖①，過點D作DM⊥x軸于點M，
則MD∥OB，
∴△ADM∽△ABO．有

AD

AB

=

AM

AO

= 

DM

BO

，
得AM=

AD

AB

•AO=

3

5

×3=

9

5

，
∴OM=

6

5

，
∴MD=

12

5

，
∴點D的坐標為（

6

5

，

12

5

）．

（2）如圖②，由已知，得∠CAB=α，AC=AB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴在△ABC中，
∴α=180°-2∠ABC，
∵BC∥x軸，得∠OBC=90°，
∴∠ABC=90°-∠ABO=90°-β，
∴α=2β；

（3）若順時針旋轉，如圖，過點D作DE⊥OA于E，過點C作CF⊥OA于F，
∵∠AOD=∠ABO=β，
∴tan∠AOD=

DE

OE

=

3

4

，
設DE=3x，OE=4x，
則AE=4x-3，
在Rt△ADE中，AD²=AE²+DE²，
∴9=9x²+（4x-3）²，
∴x=

24

25

，
∴D（

96

25

，

72

25

），
∴直線AD的解析式為：y=

24

7

x-

72

7

，
∵直線CD與直線AD垂直，且過點D，
∴設y=-

7

24

x+b，把D（

96

25

，

72

25

）代入得，

72

25

=-

7

24

×

96

25

+b，
解得b=4，
∵互相垂直的兩條直線的斜率的積等于-1，
∴直線CD的解析式為y=-

7

24

x+4．
同理可得直線CD的另一個解析式為y=

7

24

x-4．

點評：本題主要考查了相似三角形的判定和性質、勾股定理、待定系數法求一次函數解釋式等知識點，本題關鍵在于結合圖形找到相似三角形，求相關線段的長度和有關點的坐標．