Question

如圖所示，平面直角坐標系中，拋物線y=ax²+bx+c經過A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）．過點A作AD∥x軸交拋物線于點D，過點D作DE⊥x軸，垂足為點E．點M是四邊形OADE的對角線的交點，點F在y軸負半軸上，且F（0，-2）．
（1）求拋物線的解析式，并直接寫出四邊形OADE的形狀；
（2）當點P、Q從C、F兩點同時出發，均以每秒1個長度單位的速度沿CB、FA方向運動，點P運動到O時P、Q兩點同時停止運動．設運動的時間為t秒，在運動過程中，以P、Q、O、M四點為頂點的四邊形的面積為S，求出S與t之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍；
（3）在拋物線上是否存在點N，使以B、C、F、N為頂點的四邊形是梯形？若存在，直接寫出點N的坐標；不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c經過A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0）三點，把三點坐標代入拋物線表達式中，聯立方程解出a、b、c．
（2）過M作MN⊥OE于N，則MN=2，由題意可知CP=FQ=t，當0≤t＜2時，OP=6-t，OQ=2-t，列出S與t的關系式，當t=2時，Q與O重合，點M、O、P、Q不能構成四邊形，當2＜t＜6時，連接MO，ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，可證三角形全等，進而計算出三角形面積．
（3）若B、C、F、N為頂點的四邊形是梯形，則四邊形有兩邊平行，設出N點的坐標，分類討論兩邊平行時N點坐標滿足的條件，進而求出N點坐標．
解答：解：（1）∵拋物線經過A（0，4）、B（-2，0）、C（6，0），
∴c=4，
，
解得a=-，b=，c=4．
∴拋物線的解析式為y=-x²+x+4．
四邊形OADE為正方形．

（2）連接MQ．
根據題意，可知OE=OA=4，OC=6OB=OF=2，
∴CE=2，
∴CO=FA=6，
∵運動的時間為t，
∴CP=FQ=t，
過M作MN⊥OE于N，則MN=2，
當0≤t＜2時，OP=6-t，OQ=2-t，
∴S=S_△OPQ+S_△OPM=（6-t）×2+（6-t）（2-t）=（6-t）（4-t），
∴S=t²-5t+12．
當t=2時，Q與O重合，點M、O、P、Q不能構成四邊形，
當2＜t＜6時，連接MO，ME則MO=ME且∠QOM=∠PEM=45°，
∵FQ=CP=t，FO=CE=2，
∴OQ=EP，
∴△QOM≌△PEM，
∴四邊形OPMQ的面積S=S_△MOE=×4×2=4，
綜上所述，當0≤t＜2時，S=t²-5t+12；當2＜t＜6時，S=4．

（3）分三種情況：
①以BF為底邊時，經過點C作BF的平行線，與拋物線交于點N的坐標為（1，5）；
②以CF為底邊時，經過點B作CF的平行線，與拋物線交于點N的坐標為（5，）；
③以BC為底邊時，經過點F作BC的平行線，與拋物線交于點N的坐標為（2+，-2）或（2-，-2）．
故在拋物線上存在點N₁（1，5），N₂（5，），N₃（2+，-2），N₄（2-，-2），
使以B、C、F、N為頂點的四邊形是梯形．
點評：本題是二次函數的綜合題，考查的知識點也很多，要求會求拋物線的表達式，會運用分別類討論思想，此題有一定的難度，做題時不能粗心大意．