Question

（2011•廣寧縣一模）如圖，以△ABC的三邊為邊在BC的同側分別作三個等邊三角形，即△ABD、△BCE、△ACF，請回答下列問題，并說明理由．
（1）四邊形ADEF是什么四邊形；
（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADEF是矩形；
（3）當△ABC滿足什么條件時，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形不存在．

Answer 1

【答案】分析：（1）四邊形ADEF平行四邊形．根據(jù)△ABD，△EBC都是等邊三DAE角形容易得到全等條件證明△DBE≌△ABC，然后利用全等三角形的性質和平行四邊形的判定可以證明四邊形ADEF平行四邊形．
（2）若邊形ADEF是矩形，則∠DAE=90°，然后根據(jù)已知可以得到∠BAC=150°．
（3）當∠BAC=60°時，∠DAF=180°，此時D、A、F三點在同一條直線上，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形就不存在．
解答：解：（1）四邊形ADEF是平行四邊形．
理由：∵△ABD，△EBC都是等邊三角形．
∴AD=BD=AB，BC=BE=EC
∠DBA=∠EBC=60°
∴∠DBE+∠EBA=∠ABC+∠EBA．
∴∠DBE=∠ABC．
在△DBE和△ABC中
∵BD=BA
∠DBE=∠ABC
BE=BC，
∴△DBE≌△ABC．
∴DE=AC．
又∵△ACF是等邊三角形，
∴AC=AF．
∴DE=AF．
同理可證：AD=EF，
∴四邊形ADEF平行四邊形．

（2）∵四邊形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．
∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°．
∴∠BAC=150°時，四邊形ADEF是矩形．

（3）當∠BAC=60°時，以A，D，E，F(xiàn)為頂點的四邊形不存在．
點評：此題主要用等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定來解決平行四邊形的判定問題，也探討了矩形，平行四邊形之間的關系．