Question

如圖，在直角梯形ABCD中，∠B=90°，AD∥BC，且AD=4cm，AB=6cm，DC=10cm．若動點P從A點出發，以每秒4cm的速度沿線段AD、DC向C點運動；動點Q從C點出發以每秒5cm的速度沿CB向B點運動．當Q點到達B點時，動點P、Q同時停止運動．設點P、Q同時出發，并運動了t秒，
（1）直角梯形ABCD的面積為______cm²；
（2）當t=______秒時，四邊形PQCD成為平行四邊形？
（3）當t=______秒時，AQ=DC；
（4）是否存在t，使得P點在線段DC上且PQ⊥DC？若存在，求出此時t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）作DM⊥BC于點M，在直角△CDM中，根據勾股定理即可求得CM，得到下底邊的長，根據梯形面積公式即可求解．
（2）當PD=CQ時，四邊形PQCD成為平行四邊形．
（3）在直角△ABQ中利用勾股定理即可求解．
（4）連接QD，根據S_△DQC=S_△DQC，即可求解．
解答：解：（1）作DM⊥BC于點M．則四邊形ABMD是平行四邊形
∴DM=AB=6cm．
在直角△CDM中，CM==8cm
∴BC=BM+CM=4+8=12cm
∴直角梯形ABCD的面積為（AD+BC）•AB=48cm²；

（2）當PD=CQ時，四邊形PQCD成為平行四邊形
即4-4t=5t
解得t=；

（3）BQ=12-5t
在直角△ABQ中，AB²+BQ²=AQ²
即6²+（12-5t）²=10²
解得t=；

（4）存在，．
連接QD，則CP=14-4t，CQ=5t
若QP⊥CD，則2S_△DQC=CQ×AB=CD×QP
得QP=3t
在Rt△QPC中
QP²+PC²=CQ²，即（3t）²+（14-4t）²=（5t）²
解之得
求得BC=12
CP=14-4t=7＜10
CQ=5t=＜12
所以，存在t，使得P點在線段DC上，且PQ⊥DC．
點評：本題綜合考查了平行四邊形的判定方法，梯形的計算，梯形問題一般通過作高線轉化為三角形與平行四邊形的問題．