Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A（

3

，0），B（3

3

，2），C（0，2）．動點D以每秒1個單位的速度從點0出發沿OC向終點C運動，同時動點E以每秒2個單位的速度從點A出發沿AB向終點B運動．過點E作EF上AB，交BC于點F，連接DA，DF．設運動時間為t秒．
（1）求∠ABC的度數；
（2）當t為何值時，AB∥DF；
（3）設四邊形AEFD的面積為S．
①求S關于t的函數關系式；②若一拋物線y=x²+mx經過動點E，當S＜2

3

時，求m的取值范圍（寫出答案即可）．

Answer 1

分析：（1）過點B作BM⊥x軸于點M，在Rt△ABM中求tan∠BAM，得出∠BAM的度數，利用BC∥OA求解；
（2）當AB∥DF時，∠CFD=∠CBA=30°，在Rt△CDF，Rt△BEF中，解直角三角形求CF，BF，根據CF+BF=BC，列方程求解；
（3）①由D、E兩點坐標可知DE∥x軸，根據S=S_△DEF+S_△DEA，利用三角形面積公式列函數式；
②將①中的關系式代入S＜

3

中求t的取值范圍，將E（

3

+

3

t，t）代入拋物線y=x²+mx中，求m、t的關系式，代入t的取值范圍求m的取值范圍．

解答：解：（1）過點B作BM⊥x軸于點M，
∵C（0，2），B（3

3

，2），
∴BC∥OA，
∵BM=2，AM=2

3

，
∴tan∠BAM=

3

3

，
∴∠ABC=∠BAM=30°．

（2）∵AB∥DF，
∴∠CFD=∠CBA=30°，
在Rt△DCF中，CD=2-t，∠CFD=30°，
∴CF=

3

（2-t），
∵AB=4，
∴BE=4-2t，∠FBE=30°，
∴BF=

2(4-2t)

3

，
∴

3

（2-t）+

2(4-2t)

3

=3

3

，
∴t=

5

7

．

（3）①過點EG⊥x軸于點G，
∵∠EAG=30°，AE=2t，
∴EG=

1

2

AE=t，OG=

3

+

3

t
∴E（

3

+

3

t，t）
∴DE∥x軸
S=S_△DEF+S_△DEA=

1

2

DE×CD+

1

2

DE×OD=

1

2

DE×OC
=

1

2

×（

3

t+

3

）×2=

3

t+

3

．
②當S＜2

3

時，

3

t+

3

＜2

3

∴t＜1，
∵t＞0，
∵0＜t＜1，
∴

3

＜m＜

13 3

6

．

點評：本題考查了二次函數的綜合運用．關鍵是解直角三角形的知識，平行線的性質求相關點的坐標，根據面積公式列等量關系求解．