Question

直角三角形AOB在平面直角坐標系中如圖所示，O與坐標原點重合，點A在x軸上，點B在y軸上，OB=2，∠BAO=30°，將△AOB沿直線BE折疊，使得OB邊落在AB上，點O與點D重合．
（1）求直線BE的解析式；
（2）求點D的坐標；
（3）點P是x軸上的動點，使△PAB是等腰三角形，直接寫出P點的坐標；
（4）點M是直線BE上的動點，過M點作AB的平行線交y軸于點N，是否存在這樣的點M，使得以點M、N、D、B為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，請求出所有M點的坐標；如果不存在說明理由．

Answer 1

解：（1）∵∠BAO=30°
∴∠ABO=60°，
∵沿BE折疊O．D重合
∴∠EBO=30°，OE=BE，
設OE=x，則（2x）²=x²+，
∴x=2，
即 BE=4，E（﹣2，0），
設Y=kx+b代入得；
解得，
∴直線BE的解析式是：，
（2）過D作DG⊥OA于G，
∵沿BE折疊O、D重合，
∴DE=2，
∴∠DAE=30°
∴∠DEA=60°，∠ADE=∠BOE=90°，
∴∠EDG=30°，
∴GE=1，DG=，
∴OG=1+2=3，
∴D的坐標是：D；
（3）P₁（﹣2，0）；P₂（6，0）；；；

（4）存在，
過D作DM₁⊥y軸交BE于M，過M₁作AB平行線交y軸于N1，
則M₁的橫坐標是x=﹣3，代入直線BE的解析式得：y=﹣，
∴M₁（﹣3，﹣），
②過D作DN₂∥BE交y軸于N₂，過N₂作N₂M₂∥AB交直線EB于M₂，
∵D的橫坐標是﹣3，
∴M₂的橫坐標是3，
∵M₁的坐標是（﹣3，﹣），D（﹣3，），
∴DM₁=+=2=NB，
∵BO=2，
∴M₂的縱坐標是2+2+=5，
∴M₂（3，5），
∴M點的坐標是：（﹣3，﹣）和（3，5）．