Question

如圖，在平面直角坐標系中，⊙D與坐標軸分別相交于A（-，0），B（，0），C（0，3）三點．
（1）求⊙D的半徑；
（2）E為優弧AB一動點（不與A，B，C三點重合），EN⊥x軸于點N，M為半徑DE的中點，連接MN，求證：∠DMN=3∠MNE；
（3）在（2）的條件下，當∠DMN=45°時，求E點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于A、B關于y軸對稱，由垂徑定理知圓心D必在y軸上，可連接AD，在Rt△OAD中，用半徑表示出OD、AD的長，然后利用勾股定理求半徑的長．
（2）過D作EN的垂線，設垂足為H，易證得四邊形DHNO是矩形，則NH=OD=1；連接MH，在Rt△EDH中，MH是斜邊DE上的中線，則MH=ME=DM=1，由此可知∠E=∠MHE=2∠B；由于∠DMN是△MEB的外角，根據三角形外角的性質即可得出本題所求的結論；
（3）根據（2）的結論，易求得∠E=30°，在Rt△DEH中，根據⊙D的半徑及∠E的度數，即可求出DH、EH的長，也就得出了E點的坐標，再根據對稱性即可求出另一種情況的點E的坐標．
解答：（1）解：由于OA=OB=，且OD⊥AB，根據垂徑定理知圓心D必在y軸上；
連接AD，設⊙D的半徑為R，則AD=R，OD=3-R；
Rt△ADO中，根據垂徑定理得：
AD²=AO²+OD²，即R²=3+（3-R）²，解得R=2；
即⊙D的半徑為2；

（2）證明：過D作DH⊥EN于H，連接MH；
易知四邊形DHNO是矩形，則HN=OD=1；
Rt△DHE中，MH是斜邊DE的中線，
∴DM=ME=MH=DE=1；
∴△MEH、△MHN是等腰三角形，即∠MEH=∠MHE=2∠MNE；
∵∠DMN=∠E+∠MNE，故∠DMN=3∠MNE；

（3）解：∵∠DMN=45°，
∴∠MNE=15°，∠E=30°；
Rt△DHE中，DE=2，∠E=30°；
∴DH=1，EH=；
∴EN=EH+HN=+1；
故E（1，+1），
根據軸對稱性可知，點E在第二象限的對稱點（-1，+1）也可以．
故點E的坐標為：（1，+1）或（-1，+1）．
點評：此題考查了垂徑定理、直角三角形的性質、三角形的外角性質、等邊對等角等知識，（2）是本題的一個難點，能夠正確的構建出與所求相關的兩個等腰三角形是解題的關鍵．