Question

【題目】如圖，已知拋物線經過點、和，垂直于軸，交拋物線于點，垂直于軸，垂足為，直線是該拋物線的對稱軸，點是拋物線的頂點．

(1)求出該二次函數的表達式及點的坐標；

(2)若沿軸向右平移，使其直角邊與對稱軸重合，再沿對稱軸向上平移到點與點重合，得到，求此時與矩形重疊部分圖形的面積；

(3)若沿軸向右平移個單位長度()得到，與重疊部分圖形的面積記為，求與之間的函數表達式，并寫出自變量的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)拋物線的解析式為，點的坐標為；(2) ； (3) .

【解析】

（1）將點A（-3，0）、B（9，0）和C（0，4）代入y=ax2+bx+c即可求出該二次函數表達式，因為CD垂直于y軸，所以令y=4，求出x的值，即可寫出點D坐標；

（2）設A1F交CD于點G，O1F交CD于點H，求出頂點坐標，證△FGH∽△FA1O1，求出GH的長，因為Rt△A1O1F與矩形OCDE重疊部分的圖形是梯形A1O1HG，所以S重疊部分=-S△FGH，即可求出結果；

（3）當0＜t≤3時，設O2C2交OD于點M，證△OO2M∽△OED，求出O2M=t，可直接求出S==OO2×O2M=t2；當3＜t≤6時，設A2C2交OD于點M，O2C2交OD于點N，分別求出直線OD與直線A2C2的解析式，再求出其交點M的坐標，證△DC2N∽△DCO，求出C2N=（6-t），由S=S四邊形A2Q2NM=，可求出S與t的函數表達式．

(1)∵拋拋線經過點、和，

∴拋物線的解析式為，

∵點在拋物線上，

∴，

∴，

∴拋物線的解析式為：，

∵垂直于軸，，

令，

解得，或，

∴點的坐標為；

(2)如圖1所示，設交于點，交于點，

∵點是拋物線的頂點，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

解得， ，

∵與矩形重疊部分的圖形是梯形，

∴

；

(3)①當時，如圖2所示，設交于點，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴；

②當時，如圖3所示，設交于點，交于點，

將點代入，

得，，

∴，

將點，代入，

得，，

解得，，，

∴直線的解析式為：，

聯立與，

得，，

解得，，

∴兩直線交點坐標為，

故點到2的距離為，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴

；

∴與的函數關系式為：．