Question

已知：如圖所示，在△ABC中，點D為AC上一點，CD：AD=1：2，∠BCA=45°，∠BDA=60°，AE⊥BD，點E為垂足，連接CE．
（1）寫出圖中相等的線段；
（2）寫出圖中各對相似三角形；
（3）求

S△CDE

S△CEA

的值．

Answer 1

分析：（1）由∠BDA=60°，AE⊥BD，即可得

ED

AD

=

1

2

，又由CD：AD=1：2，即可得DE=CD，即可求得∠DBC=∠BCE=15°，則可得BE=CE，又由∠EAD=∠ECA=30°，求得AECE，則可得AE=BE=CE；
（2）由∠ECD=∠DEC=∠EAC=30°，根據有兩角對應相等的三角形相似，即可得△CEA∽△CDE，由∠ABE=∠ACB=45°，∠BAD=∠CAB，即可得△ADB∽△ABC；
（3）由△CEA∽△CDE，根據相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得答案．

解答：解：（1）CD=DE，AE=BE=CE；（3分）

（2）△CEA∽△CDE，△ADB∽△ABC；（2分）

（3）在△CEA和△CDE中，
∵AE⊥BD，∠BDA=60°，
∴∠DAE=30°，
∴

ED

AD

=

1

2

，（1分）
∵

CD

AD

=

1

2

，
∴CD=ED，（1分）
∴∠DCE=∠DEC=30°，
∵∠DAE=30°，
∴∠DAE=∠DEC=30°，（1分）
∴△CEA∽△CDE；（1分）
∴

S△CDE

S△CEA

=(

ED

AE

)2=(

1

3

)2=

1

3

．（1分）

點評：此題考查了相似三角形的判定與性質，等腰三角形的判定與性質以及直角三角形的性質等知識．解題的關鍵是數形結合思想的應用，注意有兩角對應相等的三角形相似與相似三角形的面積比等于相似比的平方定理的應用．