Question

【題目】如圖，四邊形是平行四邊形，，，是的中點，是延長線上一點．

（1）若，求證：；

（2）在（1）的條件下，若的延長線與交于點，試判定四邊形是否為平行四邊形？并證明你的結論(請先補全圖形，再解答)；

（3）若，與垂直嗎？若垂直給出證明，若不垂直說明理由．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析（2）四邊形ACPE為平行四邊形（3）垂直

【解析】

試題分析：（1）根據平行四邊形的性質知道AD=AC，AD⊥AC，連接CE，根據全等三角形的判定和性質即可得到結論；

（2）根據全等三角形的性質得到CF=AD，等量代換得到AC=CF，于是得到CP=AB=AE，根據平行四邊形的判定定理即可得到四邊形ACPE為平行四邊形；

（3）過E作EM⊥DA交DA的延長線于M，過E作EN⊥FC交FC的延長線于N，證得△AME≌△CNE，△ADE≌△CFE，根據全等三角形的性質即可得到結論．

試題解析：（1）在ABCD中，

∵AD=AC，AD⊥AC，

∴AC=BC，AC⊥BC，

連接CE，

∵E是AB的中點，

∴AE=EC，CE⊥AB，

∴∠ACE=∠BCE=45°，

∴∠ECF=∠EAD=135°，

∵ED⊥EF，

∴∠CEF=∠AED=90°﹣∠CED，

在△CEF和△AED中， ，

∴△CEF≌△AED，

∴ED=EF；

（2）由（1）知△CEF≌△AED，CF=AD，

∵AD=AC，

∴AC=CF，

∵DP∥AB，

∴FP=PB，

∴CP=AB=AE，

∴四邊形ACPE為平行四邊形；

（3）垂直，

理由：過E作EM⊥DA交DA的延長線于M，過E作EN⊥FC交FC的延長線于N，

在△AME與△CNE中， ，

∴△AME≌△CNE，

∴∠ADE=∠CFE，

在△ADE與△CFE中， ，

∴△ADE≌△CFE，

∴∠DEA=∠FEC，

∵∠DEA+∠DEC=90°，

∴∠CEF+∠DEC=90°，

∴∠DEF=90°，

∴ED⊥EF．