Question

如圖，在△ACM中，△ABC、△BDE和△DFG都是等邊三角形，且點E、G在△ACM邊CM上，設等邊△ABC、△BDE和△DFG的面積分別為S₁、S₂、S₃，若S₁=9，S₃=1，則S₂=

3

．

Answer 1

分析：先設△ABC、△BDE、△DGF的邊長分別是a、b、c，由于△ABC、△BDE是等邊三角形，易知∠ABC=60°，∠EBD=60°，結合平角定義可求∠CBE=60°，同理可求∠EDG=60°，那么∠CBE=∠EDG，由于△BDE、△DGF是等邊三角形，那么∠EBD=∠GDF=60°，從而有BE∥DG，于是∠CEB=∠EGD，利用兩角對應相等的兩個三角形相似可得△CBE∽△EDG，可得比例關系：a：b=b：c，即b²=ac，再根據S₁：S₃=（

a

c

）²=

9

1

可得a：c=3：1，結合S₁：S₂=（

a

b

）²，把b2=ac代入可得
S₁：S₂=3：1，進而可求S₂．

解答：解：設△ABC、△BDE、△DGF的邊長分別是a、b、c，如右圖，
∵△ABC、△BDE是等邊三角形，
∴∠CBA=∠EBD=60°，
∴∠CBE=60°，
同理∠EDG=60°，
∴∠CBE=∠EDG，
∵△BDE、△DGF是等邊三角形，
∴∠EBD=∠GDF=60°，
∴BE∥DG，
∴∠CEB=∠EGD，
∴△CBE∽△EDG，
∴a：b=b：c，
∴b²=ac，
∵S₁：S₃=（

a

c

）²=

9

1

，
∴a：c=3：1，
∵S₁：S₂=（

a

b

）²=

a2

b2

=

a2

ac

=

a

c

=

3

1

，
∴S₂=

1

3

S₁=3．
故答案是3．

點評：本題考查了相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是證明△CBE∽△EDG，得出b²=ac．