Question

已知：在△ABC中，∠ABC=90°，點E在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D，且點M為EC中點，連接BM，DM．

（1）如圖1，若點E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數量關系，并直接寫出你得到的結論；
（2）如圖2，若點E在BA延長線上，你在（1）中得到的結論是否發生變化？寫出你的猜想并加以證明；
（3）若點E在AB延長線上，請你根據條件畫出相應的圖形，并直接寫出線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數量關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于BM、DM分別是Rt△DEC、Rt△EBC的斜邊上的中線，即可證得BM=DM=CE；易知BM=MC=DM，結合三角形的外角性質可知∠EMB=2∠MCB，∠DME=2∠DCM，兩式相加即可得到∠BMD=2∠BCD．
（2）同（1）易證得DM=BM；由于BM=MC=DM=EM，結合三角形的外角性質可得：∠BME=2∠BCM，∠DME=2∠MCD，兩式相減即可得到∠BMD=2∠BCD．
（3）此題應分三種情況：
①D點在線段AC上時，易證得BM=MD，同（2）可證得∠BMD=2∠BCD；
②D、C重合，此時BM=MD，而∠BCD不存在；
③D點在AC的延長線上，同（2）可得到∠BMD=∠BME+∠EMD=2∠BCD，所以鈍角∠BMD=360°-2∠BCD．
解答：解：（1）結論：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．
理由：∵BM、DM分別是Rt△DEC、Rt△EBC的斜邊上的中線，
∴BM=DM=CE；
又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；
同理可得∠DME=2∠DCM；
∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．

（2）在（1）中得到的結論仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD
證法一：∵點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點，
∴BM=EC=MC，
又點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點，
∴DM=EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=MC，DM=MC，
∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，
∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM
=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCD，
即∠BMD=2∠BCD．
證法二：∵點M是Rt△BEC的斜邊EC的中點，
∴BM=EC=ME；
又點M是Rt△DEC的斜邊EC的中點，
∴DM=EC=MC，
∴BM=DM；
∵BM=ME，DM=MC，
∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，
∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，
∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），
=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，
即∠BMD=2∠BCD．

（3）所畫圖形如圖所示：

圖1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；
圖2中∠BCD不存在，有BM=DM；
圖3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．
解法同（2）．
點評：此題主要考查了直角三角形的性質以及三角形的外角性質，要注意（3）題中，點D的位置有三種，不要遺漏任何一種情況．