Question

已知：0＜a＜b＜c，實數x、y滿足2x+2y=a+b+c，2xy=ac，且x＜y．求證：0＜x＜a，b＜y＜c．

Answer 1

分析：利用一元二次方程根與系數的關系，得到x，y可看作方程t²-

a+b+c

2

t+

ac

2

=0的兩實根，然后設函數S=t²-

1

2

（a+b+c）t+

1

2

ac，建立二次函數關系式；當自變量分別為0、a、b、c時求出對應的函數值，根據0＜a＜b＜c可判斷這些函數值的正負，然后利用數形結合的思想可畫出函數的大致圖象，可得到拋物線與x軸的交點的大致位置，從而得到結論．

解答：證明：∵2x+2y=a+b+c，2xy=ac，
∴x+y=

a+b+c

2

，xy=

ac

2

，
∴x，y可看作方程t²-

a+b+c

2

t+

ac

2

=0的兩實根，
設函數S=t²-

1

2

（a+b+c）t+

1

2

ac，
①當t=0時，S=

1

2

ac＞0；
②當t=a時，S=a²-

a+b+c

2

•a+

ac

2

=

1

2

a（a-b），
而0＜a＜b，
∴S=

1

2

a（a-b）＜0；
③當t=b時，S=b²-

1

2

（a+b+c）b+

1

2

ac=

1

2

（b-a）（b-c），
∵0＜a＜b＜c，
∴S=

1

2

（b-a）（b-c）＜0，
④當t=c時，S=

1

2

c（c-b）＞0，
可知函數S=t²-

1

2

（a+b+c）t+

1

2

ac的圖象與t軸的兩個交點分別在0，a和b，c之間，如圖，
∴方程t²-

a+b+c

2

t+

ac

2

=0的兩根分別在0，a之間的和b，c之間，
即0＜x＜a，b＜y＜c．

點評：本題考查了二次函數的綜合題：建立二次函數的關系，通過二次函數的性質和幾個點的坐標大致畫出拋物線，然后利用二次函數的圖象確定拋物線與x軸的交點的大致位置．也考查了一元二次方程根與系數的關系以及數形結合思想的運用．