Question

（2003•黃石）二次函數y=x²+bx+c的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C（0，3），若△ABC的面積為9，求此二次函數的最小值．

Answer 1

【答案】分析：根據函數過C（0，3），那么c=3，三角形ABC的面積為9，而高就是C的縱坐標的絕對值，那么AB=6，因此A，B兩點的橫坐標的差的絕對值就應該是6，那么他們差的平方就是36，要想使這個式子和函數關聯起來，那么可設A，B兩點的橫坐標為方程x²+bx+3=0的兩個根，那么根據這兩個根的差的平方為36，和為-6，積是3，可將兩根的完全平方差公式轉換成完全平方和公式，這樣就能求出b的值，有了b的值，也就求出了二次函數的解析式，那么根據解析式可用公式法或配方法來求出二次函數的最小值．
解答：解：設A（m，0），B（n，0），則m，n是方程x²+bx+c=0的兩個根，
∵y=x²+bx+c過點C（0，3），
∴c=3，
又∵S_△ABC=|AB|•|OC|=|AB|•3=9，
∴|AB|=6，
∴|m-n|=6，
即（m+n）²-4mn=36，
而，
∴b²-12=36，b=±4，
∴y=x²±4x+3=（x±2）²-9，
∴所求的最小值為-9．
點評：本題中二次函數與方程的關系，本題中利用三角形的面積和一元二次方程根與系數的關系來確定二次函數的解析式是解題的關鍵所在．