Question

課本中，把長與寬之比為的矩形紙片稱為標準紙．請思考解決下列問題：
（1）將一張標準紙ABCD（AB＜BC）對開，如圖1所示，所得的矩形紙片ABEF是標準紙．請給予證明．
（2）在一次綜合實踐課上，小明嘗試著將矩形紙片ABCD（AB＜BC）進行如下操作：第一步：沿過A點的直線折疊，使B點落在AD邊上點F處，折痕為AE（如圖2甲）；第二步：沿過D點的直線折疊，使C點落在AD邊上點N處，折痕為DG（如圖2乙），此時E點恰好落在AE邊上的點M處；第三步：沿直線DM折疊（如圖2丙），此時點G恰好與N點重合．請你探究：矩形紙片ABCD是否是一張標準紙？請說明理由．
（3）不難發現：將一張標準紙按如圖3一次又一次對開后，所得的矩形紙片都是標準紙．現有一張標準紙ABCD，AB=1，BC=，問第5次對開后所得標準紙的周長是多少？探索直接寫出第2012次對開后所得標準紙的周長．…

Answer 1

解：（1）是標準紙，理由如下：
∵矩形ABCD是標準紙，
∴=，由對開的含義知：AF=BC，
∴==2==，
∴矩形紙片ABEF也是標準紙．
（2）是標準紙，理由如下：設AB=CD=a，
由圖形折疊可知：DN=CD=DG=a，DG⊥EM，
∵由圖形折疊可知：△ABE≌△AFE，
∴∠DAE=∠BAD=45°，
∴△ADG是等腰直角三角形，
∴在Rt△ADG中，AD==a，
∴==，∴矩形紙片ABCD是一張標準紙；
（3）對開次數：第一次，周長為：2（1+）=2+，
第二次，周長為：2（+）=1+，
第三次，周長為：2（+）=1+，
第四次，周長為：2（+）=，
第五次，周長為：2（+）=，
第六次，周長為：2（+）=，…
∴第5次對開后所得標準紙的周長是：，
第2012次對開后所得標準紙的周長為：．