Question

如圖，直角坐標系中，已知點A（2，4），B（5，0），動點P從B點出發沿BO向終點O運動，動點Q從A點出發沿AB向終點B運動．兩點同時出發，速度均為每秒1個單位，設從出發起運動了xs．
（1）Q點的坐標為______（用含x的代數式表示）；
（2）當x為何值時，△APQ是一個以AP為腰的等腰三角形？
（3）記PQ的中點為G．請你探求點G隨點P，Q運動所形成的圖形，并說明理由．

Answer 1

（1）（2+

3

5

x，4-

4

5

x）．

（2）由題意，得P（5-x，0），0＜x≤5
由勾股定理
求得PQ²=（

8

5

x-3）²+（4-

4

5

x）²
AP²=（3-x）²+4²
若AQ=AP，則x²=（3-x）²+4²，解得x=

25

6

若PQ=AP
則（

8

5

x-3）²+（4-

4

5

x）²=（3-x）²+4²
即

11

5

x²-10x=0，解得x₁=0（舍去），x₂=

50

11

經檢驗，當x=

25

6

或x=

50

11

時，△APQ是一個以AP為腰的等腰三角形．

（3）設AB、BO的中點分別為點M、N，則點G隨點P、Q運動所形成的圖形是線段MN
設MN，PQ相交于點G′，過點P作PK∥AO交AB于點K

∴PK∥AO∥MN
∴△A0B∽△KPB∽△MNB．
∵AB=OB
∴BK=BP=AQ，BM=BN
∴BK-BM=AQ-BM，
BK-BM=AQ-AM
即KM=QM
∴PG′=QG′
∴G′是PQ的中點
即點G′與點G重合．
∴點G隨點P、Q運動所形成的圖形是△OBA的中位線MN．