Question

（2010•靜安區二模）已知：如圖，在菱形ABCD中，點E在對角線AC上，點F在BC的延長線上，EF=EB，EF與CD相交于點G．
（1）求證：EG•GF=CG•GD；
（2）連接DF，如果EF⊥CD，那么∠FDC與∠ADC之間有怎樣的數量關系？證明你所得到的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接BD，首先證明△BCE≌△DCE，得∠EDC=∠EBC；利用此條件再證明∠DGE∽△FGC，即可得到EG•GF=CG•GD．
（2）利用第一題的結論，可證明△DGE∽△FGC，再利用三角形內角外角關系即可得到∠ADC與∠FDC的關系．
解答：（1）證明：連接ED，（1分）
∵點E在菱形ABCD的對角線AC上，
∴∠ECB=∠ECD，（2分）
∵BC=CD，CE=CE，
∴△BCE≌△DCE；（3分）
∴∠EDC=∠EBC，（4分）
∵EB=EF，
∴∠EBC=∠EFC；（5分）
∴∠EDC=∠EFC；（6分）
∵∠DGE=∠FGC，
∴△DGE∽△FGC；（7分）
∴=，∴EG•GF=CG•GD；（8分）

（2）解：∠ADC=2∠FDC．（9分）
證明如下：∵=，∠DGF=∠EGC，
∴△CGE∽△FGD；（10分）
∵EF⊥CD，DA=DC，
∴∠DAC=∠DCA=∠DFG=90°-∠FDC，（11分）
∴∠ADC=180°-2∠DAC=180°-2（90°-∠FDC）=2∠FDC．（12分）
點評：本題主要考查全等三角形的判定及性質、相似三角形的判定及性質、菱形的性質等知識點，屬于綜合題型．