Question

已知二次函數(shù)y=x²-（2k-1）x+k²-k   （k為常數(shù)）
（1）若該拋物線的對稱軸為，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）小明說：“不論k取何值時(shí)，該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)”，你同意這種說法嗎？請說明理由；
（3）求出該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)（用k的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)對稱軸方程可求出k的值，得到拋物線的解析式為y=x²-3x+2，然后配方得到頂點(diǎn)式，可確定頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（2）計(jì)算出△=1，然后根據(jù)△的意義進(jìn)行判斷；
（3）令y=0得到關(guān)于x的一元二次方程x²-（2k-1）x+k²-k=0，然后利用求根公式法解方程即可得到拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
解答：解：（1）∵對稱軸為直線x=-=，
∴k=2，
∴拋物線的解析式為y=x²-3x+2=（x-）²-，
∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（，-）；

（2）同意．理由如下：
∵△=（2k-1）²-4（k²-k）=1＞0，
∴不論k取何值時(shí)，該拋物線與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)；

（3）令y=0，則x²-（2k-1）x+k²-k=0，
∵△=1，
∴x=，解得x₁=k，x₂=k-1，
∴該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為（k，0）、（k-1，0）．
點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)：二次函數(shù)y=ax²+bx+c（a≠0）的圖象為拋物線，當(dāng)a＞0，拋物線開口向上；頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x--）²+，對稱軸為直線x=-；頂點(diǎn)坐標(biāo)為（--，）；當(dāng)b²-4ac＞0，拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac=0，拋物線與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b²-4ac＜0，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．