Question

“三聚氰胺事件”對奶制品行業影響很大．為應對該事件對行業的沖擊，某品牌奶糖生產企業研制出甲、乙兩種新配方奶糖，已試銷近三個月、已知這兩種奶糖的成本價相同，售價也相同（售價不低于成本價）、為了解銷售情況，營銷人員進行了市場調查，并對某區域的銷售數據進行了分析，發現甲、乙兩種配方奶糖的日銷量Q_甲、Q_乙（千克）與它們的售價x（元/千克）之間均具有一次函數關系，部分數據見右表．又知當售價為25元時，甲種配方奶糖的日銷售利潤為450元．[注：日銷售利潤=（銷售價-成本價）×日銷售量．]

X	…．	25	30	…．
Q甲	…．	90	75	…．
Q乙	…．	85	75	…

（1）根據上述信息，研究人員求出Q_乙=-2x+135．請你求出Q_甲關于x的函數解析式，并寫出定義域；
（2）求甲種配方奶糖的日銷售利潤W_乙（元）關于x的函數解析式；
（3）根據上述信息，試分析當售價為多少元時，該區域甲、乙兩種配方奶糖的日銷售利潤之和最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據題意設出函數解析式，由圖表數據可求得函數解析式；（2）根據甲種配方奶糖日銷售利潤=（銷售價-成本價）×日銷售量，求出解析式；（3）將實際問題轉化為求函數最值問題，從而求出最大利潤．
解答：解：（1）設Q_甲關于x的函數解析式為Q_甲=kx+b（k≠0）
根據題意當x=25時，Q_甲=90；當x=30時，Q_甲=75
∴25k+b=90
30k+b=75，
解得：k=-3，b=165，
∴Q_甲=-3x+165，
∵當x=25時，甲種奶糖的日銷售利潤為450元
∴甲種奶糖的成本價為=20（元/千克）
又-3x+165≥0
故x≤55，
∴函數定義域為：20≤x≤55；

（2）由題意，日銷售利潤=（銷售價-成本價）×日銷售量
∴w_甲=（x-20）（-3x+165）
=-3x²+225x-3300；

（3）甲、乙兩種奶糖日銷售利潤之和s=w_甲+w_乙
=（x-20）（-3x+165）+（x-20）（-2x+135）
=-5（x-40）²+2000（2分）
∴當x=40時，利潤之和最大，利潤之和為2000元．
點評：此題考查二次函數的性質及其應用，由圖表數據求出函數解析式，最后將實際問題轉化為求函數最值問題，從而來解決實際問題，比較復雜．