Question

如圖，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°．
（1）先作∠ACB的平分線；設它交AB邊于點O，再以點O為圓心，OB為半徑作⊙O（尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；
（2）證明：AC是所作⊙O的切線；
（3）若BC=，sinA=，求△AOC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據角平分線的作法求出角平分線FC，進而得出⊙O；
（2）根據切線的判定定理求出EO=BO，即可得出答案；
（3）根據銳角三角函數的關系求出AC，EO的長，即可得出答案．
解答：（1）解：如圖所示：

（2）證明：過點O作OE⊥AC于點E，
∵FC平分∠ACB，
∴OB=OE，
∴AC是所作⊙O的切線；

（3）解：∵sinA=，∠ABC=90°，
∴∠A=30°，
∴∠ACO=∠OCB=ACB=30°，
∵BC=，
∴AC=2，BO=tan30°BC=×=1，
∴△AOC的面積為：×AC×OE=×2×1=．
點評：此題主要考查了復雜作圖以及切線的判定和銳角三角函數的關系等知識，正確把握切線的判定定理是解題關鍵．