Question

如圖，正方形ABCD和正方形AEFG有公共的頂點A，連BG、DE，M為DE的中點，連AM．

（1）如圖1，AE、AG分別與AB、AD重合時，AM和BG的大小和位置關系分別是；______、______；
（2）將圖1中的正方形AEFG繞A點逆時針旋轉α（0°＜α＜90°）角時，如圖2，則（1）中的結論是否仍成立？試證明你的結論；
（3）若將圖1中的正方形AEFG繞A點逆時針旋轉α（90°＜α＜180°）角時，則AM和BG的大小和位置關系分別是：______、______，請你畫出圖形，并直接寫出結論，不要求證明．

Answer 1

【答案】分析：（1）可證明△ABG≌△ADE，BG=DE，又AM是△ADE的斜邊上中線，所以AM=DE，故AM=BG，所以BG=2AM，由角相等及互余關系，可得AM⊥BG；
（2）要證明BG=2AM，可將線段AM延長一倍，此時的線段就等于BG，用旋轉法證明三角形全等，得出結論；
（3）學會仿照前面的圖形畫圖．
解答：解：（1）BG=2AM，AM⊥BG；

（2）延長AM至K，使MK=AM，連接DK、EK，得平行四邊形ADKE．
則EK⊥DC，∠EKD=∠EAD，
∴∠KDC=∠GAD，
∴∠BAG=∠ADK，
易證△ABG≌△DAK，
∴BG=2AM，∠DAK=∠ABG，
∴AM⊥BG．

（3）如圖所示，BG=2AM，AM⊥BG．
點評：本題考查構造旋轉圖形，運用旋轉的性質解題的方法．
注意旋轉變化前后，對應線段、對應角分別相等，圖形的大小、形狀都不改變．