Question

如圖，已知拋物線y=-x²+bx+c與一直線相交于A（-1，0），C（2，3）兩點，與y軸交于點N．其頂點為D．
（1）拋物線及直線AC的函數關系式；
（2）設點M（3，m），求使MN+MD的值最小時m的值；
（3）若拋物線的對稱軸與直線AC相交于點B，E為直線AC上的任意一點，過點E作EF∥BD交拋物線于點F，以B，D，E，F為頂點的四邊形能否為平行四邊形？若能，求點E的坐標；若不能，請說明理由；
（4）若P是拋物線上位于直線AC上方的一個動點，求△APC的面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用待定系數法求二次函數解析式、一次函數解析式；
（2）根據兩點之間線段最短作N點關于直線x=3的對稱點N′，當M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最��；
（3）需要分類討論：①當點E在線段AC上時，點F在點E上方，則F（x，x+3）和②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，則F（x，x-1），然后利用二次函數圖象上點的坐標特征可以求得點E的坐標；
（4）方法一：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖1．設Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）．根據兩點間的距離公式可以求得線段PQ=-x²+x+2；最后由圖示以及三角形的面積公式知S_△APC=-（x-）²+，所以由二次函數的最值的求法可知△APC的面積的最大值；
方法二：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖2．設Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）．根據圖示以及三角形的面積公式知S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}-S_△AGC=-（x-）²+，所以由二次函數的最值的求法可知△APC的面積的最大值；
解答：解：（1）由拋物線y=-x²+bx+c過點A（-1，0）及C（2，3）得，
，
解得，
故拋物線為y=-x²+2x+3
又設直線為y=kx+n過點A（-1，0）及C（2，3）得
，
解得
故直線AC為y=x+1；

（2）如圖1，作N點關于直線x=3的對稱點N′，則N′（6，3），由（1）得D（1，4），
故直線DN′的函數關系式為y=-x+，
當M（3，m）在直線DN′上時，MN+MD的值最小，
則m=-×=；



（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），
∵點E在直線AC上，
設E（x，x+1），
①如圖2，當點E在線段AC上時，點F在點E上方，
則F（x，x+3），
∵F在拋物線上，
∴x+3=-x²+2x+3，
解得，x=0或x=1（舍去）
∴E（0，1）；
②當點E在線段AC（或CA）延長線上時，點F在點E下方，
則F（x，x-1）
由F在拋物線上
∴x-1=-x²+2x+3
解得x=或x=
∴E（，）或（，）
綜上，滿足條件的點E的坐標為（0，1）、（，）或（，）；

（4）方法一：如圖3，過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，設Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）
∴PQ=（-x²+2x+3）-（x+1）
=-x²+x+2
又∵S_△APC=S_△APQ+S_△CPQ
=PQ•AG
=（-x²+x+2）×3
=-（x-）²+
∴面積的最大值為．

方法二：過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q，交x軸于點H；過點C作CG⊥x軸于點G，如圖3，
設Q（x，x+1），則P（x，-x²+2x+3）
又∵S_△APC=S_△APH+S_{直角梯形PHGC}-S_△AGC
=（x+1）（-x²+2x+3）+（-x²+2x+3+3）（2-x）-×3×3
=-x²+x+3
=-（x-）²+
∴△APC的面積的最大值為．
點評：本題考查了二次函數綜合題．解答（3）題時，要對點E所在的位置進行分類討論，以防漏解．