Question

已知：直角坐標系中菱形ABCD的位置如圖，C，D兩點的坐標分別為（4，0），（0，3）．現有兩動點P，Q分別從A，C同時出發，點P沿線段AD向終點D運動，點Q沿折線CBA向終點A運動，設運動時間為t秒．
（1）填空：菱形ABCD的邊長是______、面積是______、高BE的長是______；
（2）若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度為每秒2個單位．當點Q在線段BA上時，求△APQ的面積S關于t的函數關系式；
（3）若點P的速度為每秒1個單位，點Q的速度變為每秒k個單位，求出當t=4秒時，△APQ為等腰三角形時k的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）求出OC=4，OD=3，在Rt△COD中，由勾股定理求出CD=5，求出AC=2OC=8，BD=2OD=6，即可求出菱形ABCD的面積（×AC×BC），根據S=×AC×BE，求出BE即可；
（2）求出AP=t，AQ=10-2t，過點Q作QG⊥AD，垂足為G，根據△AQG∽△ABE求出QG=-t，代入S=AP•QG求出即可；
（3）當t=4秒時，求出AP=4，以下分兩種情況討論：第一種情況：當點Q在CB上時，只有Q₁A=Q₁P，過點Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點M，Q₁M交AC于點F，根據△AMF∽△AOD∽△CQ₁F求出FM=，Q₁F=，CQ₁=QF=，由CQ₁=4k，求出即可；第二種情況：當點Q在BA上時，存在兩點Q₂，Q₃，分別使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
①若AP=AQ₂，根據CB+BQ₂=10-4=6得出4k=6，求出即可；
②若PA=PQ₃，過點P作PN⊥AB，垂足為N，由△ANP∽△AEB，得=，求出AN=，AQ₃=2AN=，求出BC+BQ₃=，由，求出即可．
解答：解：（1）∵C，D兩點的坐標分別為（4，0），（0，3），
∴OC=4，OD=3，
在Rt△COD中，由勾股定理得：CD=5，
即菱形ABCD的邊長是5，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴AD=DC=5，AC⊥BD，AC=2OC=8，BD=2OD=6，
∴菱形ABCD的面積是×AC×BC=×6×8=24，
∴24=×AC×BE，
∴BE=；

（2）由題意，得AP=t，AQ=10-2t，
如圖1，過點Q作QG⊥AD，垂足為G，由QG∥BE得：
△AQG∽△ABE，
∴=，
∴QG=-t，
∴S=AP•QG=•t•（-t），
S=-t²+t；

（3）當t=4秒時，
∵點P的速度為每秒1個單位，
∴AP=4，
以下分兩種情況討論：
第一種情況：當點Q在CB上時，
∵PQ≥BE＞PA，∴只存在點Q₁，使Q₁A=Q₁P，
如圖2，過點Q₁作Q₁M⊥AP，垂足為點M，Q₁M交AC于點F，
則AM=AP=2，
∵△AMF∽△AOD∽△CQ₁F，
∴===，
∴FM=，
∴Q₁F=MQ₁-FM=，
∴CQ₁=QF=，
由CQ₁=4k，
∴k=；
第二種情況：當點Q在BA上時，存在兩點Q₂，Q₃，分別使AP=AQ₂，PA=PQ₃．
①若AP=AQ₂，如圖3，
CB+BQ₂=10-4=6．由4k=6，得；
②若PA=PQ₃，如圖4，
過點P作PN⊥AB，垂足為N，
由△ANP∽△AEB，得=，
∵AE==，
∴AN=，
∴AQ₃=2AN=，
∴BC+BQ₃=10-=，由，
得．
綜上所述，當t=4秒，使得△APQ為等腰三角形的k的值為或或．
故答案為：5，24，．
點評：本題考查了相似三角形的性質和判定，勾股定理，菱形性質的應用，主要考查學生綜合運用性質進行推理和計算的能力，難度偏大，用了分類討論思想．