Question

（2002•廣西）已知拋物線y=-x²+2mx+4．
（1）求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；
（2）設拋物線與x軸相交于A、B兩點，且，求拋物線的函數解析式，并畫出它的圖象；
（3）在（2）的拋物線上是否存在點P，使∠APB等于90°？如果不存在，請說明理由；如果存在，先找出點P的位置，然后再求出點P的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）將二次函數的各系數代入頂點坐標公式（-，）解答；
（2）設A、B兩點的坐標分別為（x₁，0）（x₂，0），根據函數與方程的關系，將+=轉化為一元二次方程根與系數的關系解答；
（3）假設P點存在，設出P點坐標的參數表達式，根據勾股定理解出P點坐標，則可證明存在點P．
解答：解：（1）根據二次函數的頂點坐標公式，拋物線的頂點坐標為（m，4+m²）．

（2）設A、B兩點坐標為（x₁，0）（x₂，0），
因為+=，
所以+=，x1
配方得=，根據根與系數的關系，=，則=，
解得m=0，
則函數解析式為y=-x²+4；
則其頂點坐標為（0，4），與x軸交點為（-2，0），（2，0）．如圖所示

（3）設P（x，-x²+4），
又因為A（-2，0），B（2，0），根據勾股定理（兩點間距離公式）
（x+2）²+（4-x²）²+（x-2）²+（4-x²）=4²，
解得x=±或x=±2（與A、B重合，不能構成三角形，舍去）．
P點坐標為（±，1）．
點評：此題重點考查了一元二次方程和二次函數之間的關系．通過將二次函數轉化為一元二次方程，可以根據根與系數的關系解題，尤其注意（3）為開放性題目，需要進行猜想和證明．