Question

在⊙O中，已知⊙O的直徑AB為2，弦AC長為，弦AD長為．則DC²=    ．

Answer 1

【答案】分析：根據垂徑定理和勾股定理可得．
解答：解：連接AD，AC，BC，BD，
∵直徑AB=2，弦AC=，弦AD=
∴BC²=（AB²-AC²）=2²-（）²=1，
BD²=（AB²-AD²）=2²-（）²=2，
∴BC=1，BD=
∴∠ABC=60°，∠ABD=45°，
過點C作CP⊥AB交于點P，作CQ⊥DQ交于點Q，
則BP=，OQ=CP=，OP=，
如果弦AC，AD在同一個半圓，
則DQ=OD-OQ=1-=
∴CD²=DQ²+QC²=DQ²+OP²=（）²+（）²=2-．
如果弦AC，AD分別在兩個半圓，
則DQ=OD+OQ=1+=
∴CD²=DQ²+QC²=DQ²+OP²=（）²+（）²=2+．
故答案為 2+或 2-．
解：連接AD，AC，BC，BD，
∵直徑AB=2，弦AC=，弦AD=
∴BC²=（AB²-AC²）=2²-（）²=1，
BD²=（AB²-AD²）=2²-（）²=2，
∴BC=1，BD=
∴∠ABC=60°，∠ABD=45°，
∵∠OQB=90°，
∴∠QOB=45°，
∴OP=CP，QO=BQ，BO=CO，
∴△COP≌△BOQ，
∴QO=CP，
過點C作CP⊥AB交于點P，作CQ⊥DB交于點Q，
則BP=，OQ=CP=，OP=，
如果弦AC，AD在同一個半圓，
則DQ=OD-OQ=1-=
∴CD²=DQ²+QC²=DQ²+OP²=（）²+（）²=2-．
如果弦AC，AD分別在兩個半圓，
則DQ=OD+OQ=1+=
∴CD²=DQ²+QC²=DQ²+OP²=（）²+（）²=2+．
故填或．
點評：此題主要考查了垂徑定理和勾股定理．