Question

（2012•眉山）已知：如圖，直線y=3x+3與x軸交于C點，與y軸交于A點，B點在x軸上，△OAB是等腰直角三角形．
（1）求過A、B、C三點的拋物線的解析式；
（2）若直線CD∥AB交拋物線于D點，求D點的坐標；
（3）若P點是拋物線上的動點，且在第一象限，那么△PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標和△PAB的最大面積；若沒有，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）求得直線y=3x+3與坐標軸的兩交點坐標，然后根據OB=OA即可求得點B的坐標，然后利用待定系數法求得經過A、B、C三點的拋物線的解析式即可；
（2）首先利用待定系數法求得直線AB的解析式，然后根據CD∥AB得到兩直線的k值相等，根據直線CD經過點C求得直線CD的解析式，然后求得直線CD和拋物線的交點坐標即可；
（3）本問關鍵是求出△ABP的面積表達式．這個表達式是一個關于P點橫坐標的二次函數，利用二次函數求極值的方法可以確定P點的坐標．

解答：解：（1）令y=3x+3=0得：x=-1，
故點C的坐標為（-1，0）；
令x=0得：y=3x+3=3×0+3=3
故點A的坐標為（0，3）；
∵△OAB是等腰直角三角形．
∴OB=OA=3，
∴點B的坐標為（3，0），
設過A、B、C三點的拋物線的解析式y=ax²+bx+c，

c=3 9a+3b+3=0 a-b+3=0

解得：

a=-1 b=2 c=3

∴解析式為：y=-x²+2x+3；

（2）設直線AB的解析式為y=kx+b，
∴

3k+b=0 b=3

解得：

k=-1 b=3

∴直線AB的解析式為：y=-x+3
∵線CD∥AB
∴設直線CD的解析式為y=-x+b
∵經過點C（-1，0），
∴-（-1）+b=0
解得：b=-1，
∴直線CD的解析式為：y=-x-1，
令-x-1=-x²+2x+3，
解得：x=-1，或x=4，
將x=4代入y=-x²+2x+3=-16+2×4+3=-5，
∴點D的坐標為：（4，-5）；

（3）存在．如圖1所示，設P（x，y）是第一象限的拋物線上一點，
過點P作PN⊥x軸于點N，則ON=x，PN=y，BN=OB-ON=3-x．
S_△ABP=S_梯形PNOA+S_△PNB-S_△AOB
=

1

2

（OA+PN）•ON+

1

2

PN•BN-

1

2

OA•OB
=

1

2

（3+y）•x+

1

2

y•（3-x）-

1

2

×3×3
=

3

2

（x+y）-

9

2

，
∵P（x，y）在拋物線上，∴y=-x²+2x+3，代入上式得：
S_△PAB=

3

2

（x+y）-

9

2

=-

3

2

（x²-3x）=-

3

2

（x-

3

2

）²+

27

8

，
∴當x=

3

2

時，S_△PAB取得最大值．
當x=

3

2

時，y=-x²+2x+3=

15

4

，
∴P（

3

2

，

15

4

）．
所以，在第一象限的拋物線上，存在一點P，使得△ABP的面積最大；
P點的坐標為（

3

2

，

15

4

），最大值為：

27

8

．

點評：本題綜合考查了二次函數的圖象與性質、待定系數法求函數（二次函數和一次函數）的解析式、圖形面積的表示方法等重要知識點，難度不是很大．注意第（3）問中圖形面積的表示方法-并非直接用底乘以高，而是通過其他圖形組合轉化而來-這是壓軸題中常見的技巧，需要認真掌握．