Question

把拋物線y=x²向右、向下平移，使它經過點A（1，0）且與x軸的另一個交點B在A的右側，與y軸交于點C，如圖所示．
（1）求∠ABC的度數；
（2）設D是平移后拋物線的頂點，若BD⊥BC，試確定平移的方法．

Answer 1

分析：（1）設B（a，0），（a＞1），由交點式可知平移后拋物線解析式為y=（x-1）（x-a）=x²-（a+1）x+a，可知拋物線與y軸的交點坐標C（0，a），即OB=OC=a，可求∠ABC的度數；
（2）由|AB|=a-1，可推出∠ABD=45°，故D點坐標為（1+

a-1

2

，-

a-1

2

），再代入拋物線解析式求a，確定頂點坐標和平移方法．

解答：解：（1）設B（a，0），（a＞1），
則平移后拋物線解析式為y=（x-1）（x-a）=x²-（a+1）x+a，
∴拋物線與y軸的交點坐標C（0，a），
即OB=OC=a，
∠ABC=45°；

（2）根據題意，得|AB|=a-1，
∠ABD=∠CBD-∠ABC=45°，
∴D點坐標為（1+

a-1

2

，-

a-1

2

），即（

a+1

2

，-

a-1

2

），
代入拋物線y=（x-1）（x-a）中，得
（

a+1

2

-1）（

a+1

2

-a）=-

a-1

2

，
解得a=3，
∴D（2，-1），
故拋物線y=x²向右平移2個單位，再向下平移1個單位，得到新拋物線．

點評：本題主要考查了函數圖象的平移，拋物線與坐標軸的交點坐標的求法，要求熟練掌握平移的規律：左加右減，上加下減．并用規律求函數解析式．