Question

已知，如圖，P是⊙O外一點，PC切⊙O于點C，割線PO交⊙O于點B、A，且AC=PC．
（1）求證：△PBC≌AOC；
（2）如果PB=2，點M在⊙O的下半圈上運動（不與A、B重合），求當△ABM的面積最大時，AC•AM的值．

Answer 1

（1）證明∵PC切⊙O于C，
∴∠PCO=90°，
∴∠PCB+∠BCO=90°，
∵AB是⊙O的直徑，
∴∠ACB=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴∠PCB=∠ACO，
∵AC=PC，
∴∠CPB=∠CAO，
∴△PBC≌△AOC；

（2）設⊙O的半徑為r，則：OB=OC=OA=OM=r．
在Rt△PCO中，PO²=PC²+OC²，
∴（PB+OB）²=AC²+OC²，
∴（2+r）²=AC²+r²，
∴AC²=（2+r）²-r²=4+4r，=
在Rt△ABC中，AB²=BC²+AC²，
∴（2r）²=BC²+4+4r，
∵PC切⊙O于C，
∴∠PCB=∠CAP，又∠CPA=∠CAP，
∴∠PCB=∠CPA，
∴PB=BC，
∴（2r）²=PB²+4+4r，
∴r²-r-2=0，∴（r-2）（r+1）=0，
顯然，r＞0，∴r=2．
∵AB是定值，∴當△ABM的面積最大時，有：OM⊥AO．此時：AM=OA=2．
又PC²=PB×PA=PB（PB+AB）=2（2+2）=8，∴PC=2，∴AC=2．
∴AC×AM=8．
分析：（1）由切線的性質和全等三角形的判定方法證明△PBC≌△AOC即可；
（2）設⊙O的半徑為r，則：OB=OC=OA=OM=r，在在Rt△PCO中和Rt△ABC中，利用勾股定理得到關于r的方程，求出圓的半徑，當△ABM的面積最大時AM=OA=2．
由切割線定理即可求出AC•AM的值．
點評：本題考查了切線的性質、圓周角定理、全等三角形的判定和性質勾股定理的運用以及一元二次方程的運用，題目的綜合性強，難度大．