Question

如圖，已知△ABC是等邊三角形，D、E分別在邊BC、AC上，且CD=CE，連接DE并延長至點F，使EF=AE，連接AF、BE和CF．
（1）請在圖中找出一對全等三角形，用符號“≌”表示，并加以證明；
（2）判斷四邊形ABDF是怎樣的四邊形，并說明理由；
（3）若AB=6，BD=2DC，求四邊形ABEF的面積．

Answer 1

分析：（1）從圖上及已知條件容易看出△BDE≌△FEC，△BCE≌△FDC，△ABE≌△ACF．判定兩個三角形全等時，必須有邊的參與，所以此題的關鍵是找出相等的邊．
（2）由（1）的結論容易證明AB∥DF，BD∥AF，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形．
（3）EF∥AB，EF≠AB，四邊形ABEF是梯形，只要求出此梯形的面積即可．

解答：解：（1）（選證一）△BDE≌△FEC．
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60度．
∵CD=CE，
∴△EDC是等邊三角形．
∴DE=EC，∠CDE=∠DEC=60°
∴∠BDE=∠FEC=120度．
又∵EF=AE，
∴BD=FE．
∴△BDE≌△FEC．
（選證二）△BCE≌△FDC．
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴BC=AC，∠ACB=60度．
又∵CD=CE，
∴△EDC是等邊三角形．
∴∠BCE=∠FDC=60°，DE=CE．
∵EF=AE，
∴EF+DE=AE+CE．
∴FD=AC=BC．
∴△BCE≌△FDC．
（選證三）△ABE≌△ACF．
證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=AC，∠ACB=∠BAC=60度．
∵CD=CE，∴△EDC是等邊三角形．
∴∠AEF=∠CED=60度．
∵EF=AE，△AEF是等邊三角形．
∴AE=AF，∠EAF=60度．
∴△ABE≌△ACF．

（2）四邊形ABDF是平行四邊形．
理由：由（1）知，△ABC、△EDC、△AEF都是等邊三角形．
∴∠CDE=∠ABC=∠EFA=60度．
∴AB∥DF，BD∥AF．
∴四邊形ABDF是平行四邊形．

（3）由（2）知，四邊形ABDF是平行四邊形．
∴EF∥AB，EF≠AB．
∴四邊形ABEF是梯形．
過E作EG⊥AB于G，則EG=2

3

．
∴S_{四邊形ABEF}=

1

2

EG•（AB+EF）=

1

2

×2

3

×（6+4）=10

3

．

點評：此題考查了全等三角形的判定，平行四邊形的判定，及梯形面積的求解，用到的知識點比較多，較復雜．